二维散度定理的概念澄清

我们再来看看线积分 F n ds 因为我想确认咱们的概念是对的， 上个视频我讲的有些散， 在这个视频中，我会严格表述， 并明确各个量的单位 这样我们可以理解的更准确。 我画出了路径 C， 我们沿正方向——逆时针方向来积分， 再取线上的几个点， 向量场 F 在 x-y 平面的每个点上 都有一个 2 维向量， 这个点的 2 维向量是这样， 然后 n 是曲线上任意一点的单位法向量， 曲线上任一点的单位法向量都是指向外的。 在上个视频中， 我说过可以把 F 看作一个速度函数， 表示任一个点的粒子速度， 这并不完全正确， 为了真正了解它的原理， 为了真正明白，什么叫做流出边界， 什么是质量向边界外流出的速率， 我们引入 F 的密度表示， 在这里，我把 F 写成 一个标量函数和一个向量函数的积， 标量的部分是 Rho(x,y)， Rho 是希腊字母，通常用来表示某种密度， 在这里表示质量密度， 在任一点 (x,y)， 这个函数就表示了该点的质量密度， 这是在 2 维世界中的质量密度， 所以是质量除以面积， 如果要写出具体的单位—— 这只是一种便于理解的描述， 也有其他描述方法， 但这种是我最能理解的， 具体的单位，可以是千克每平方米， 而这里，是速度向量， 它表明了这个点的小粒子的速度， 这个就像是在说： “这个点上有多少粒子？密度多大？” 而这里是在说： “它们跑的多快？是往哪个方向？” 这个整体是向量，速度向量， 但这个分量，M(x,y)， 只是个标量，然后把它乘以一个向量， 所以 M(x,y) 是个标量函数， 当它乘以 i，就变成了向量， 它就给出一个速度， 而 N(x,y) 也给出一个速度， 但它是 j 方向的速度， 同样它也是一个向量，是 i 方向的速度向量， 这些速度，它们的单位是—— 我写在这里， 我们所说的 M(x,y) 和 N(x,y) 的单位， 应该都是长度除以时间， 在本题中，我们说，应该是米每秒。 我们现在来看整个函数的单位， 如果我们把 Rho 分配进括号里， 因为对于任何给定的 x,y，它都是一个数字， 分配之后，我们得到 F—— 我后面可能不写 F(x,y)，只写 F， 我们只要记住 F、Rho、M、N 都是关于 x,y 的函数就行。 F 等于 Rho 乘以 M 再乘以单位向量 i， 加 Rho 乘以 N 乘以单位向量 j， 它们的单位是什么？ Rho 乘以 M 的单位是什么？ 而 Rho 乘以 N 的单位也是一样。 如果用上面这些具体单位的话，我们得到 千克除以米的平方，乘以米除以秒， 简单的量纲分析， 分子的米和分母的米约掉了， 我们得到一个很怪的结果： 千克每米每秒， 它实际上—— 如果你把这个向量看作它的大小乘以方向， 那么它的大小的单位就是这个， 然后我们把它点乘 n， n 只是一个方向， 它是没有单位的向量—— 它只是表明曲线上任意一点的方向， 所以我们计算点乘时， 实际上得到的是 F 的大小在某个方向上的分量， 这里，计算点乘时， 实际上得到的是 F 的大小在 n 方向上的分量， 所以结果的单位和 F 一样， 所以这一部分的分量，单位还是千克每米每秒， 我举个例子你就明白了， 比如，我们看这个点， 这就是 F，它的大小，就是这个向量的长度， 单位是千克每米每秒， 然后这是单位法向量， 计算两者点积时， 实际上就是在问： “它在法方向的大小是多少啊？” 实际上，这是它在法方向的分量， 这个分量的单位还是千克每米每秒。 之后，我们再乘以 ds， 我们乘的是这条曲线上无限小的线元 ——乘以 ds， ds 的单位是什么？它是长度， 所以单位是米， 所以这里的单位是米， 在积分里，这就是千克每米每秒，再乘以米， 所以这是千克每米每秒，再乘以米， 然后得到什么？ 分子分母的米约掉， 剩下的东西感觉开始有些道理了， 剩下千克每秒， 这应该能让我们理解得更准确， 它就告诉我们每秒有多少质量通过了这个小小的 ds， 通过了曲线的这一小段。 而如果把它们都加起来 ——积分就是这个意思， 把无穷多的无穷小 ds 加起来， 全部加起来， 就会得到—— 整个积分的单位是千克每秒， 这实际上就是在说： “在给定的时间点， 有多少质量穿过这条曲线出去了？” 我重写一遍， 这个 Fn ds 的积分告诉我们， 每秒钟有多少质量穿过这条曲线流出去， 这与上个视频是一致的， 因为它等于—— 就是上个视频中讲的 2 维散度定理， 上个视频中，它就等于 在整个区域内的二重积分—— 里面是 F 的散度，它就等于—— 这里是 F 的散度， 它就等于 i 项系数对 x 的偏微分， 我写在这里，尽可能慢一点、紧凑一点， 这部分，就等于 Rho M 对 x 的偏微分， 再加上 Rho N 对 y 的偏微分， 整个再乘以小面元 dA。 那么这些部分的单位是什么呢？ Rho M 我们知道，Rho M 的单位是千克每米每秒， 而这里是对它又进行了微分， 每一部分的单位我都写下来， 就是千克每米每秒，再除以秒， 因为是关于长度的微分—— 抱歉，是再除以米， 我们是关于长度进行微分，所以又除以一个米， 分母上又多了一个米， 这就是它的单位， 然后再乘以一个面积， 面积是平方米， 所以这是平方米， 它们约掉了， 所以同样，这整个部分加起来， 得到的单位是千克每秒， 果然又是千克每秒， 这是对整个区域进行加和， 整个积分之后，也是这个结果 希望这个视频对你有帮助， 能更好的理解向量函数 F 到底是什么， 如果它还是困扰你，那就努力忽略它， 至少对我本人，这个思路确实帮我更理解了 向量场 F 到底是什么样子。