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# 三维中旋度的正式定义

## 我们要做什么

• 我们一步步定义三维旋度, 查看与 $yz$-平面, $xz$-平面, 和 $xy$-平面平行的流体旋转组件.
• 你可以通过$\text{curl}\phantom{\rule{0.167em}{0ex}}\mathbf{\text{F}}$ 和任意单位向量$\stackrel{^}{\mathbf{\text{n}}}$ 之间的点积来取得$\text{curl}\phantom{\rule{0.167em}{0ex}}\mathbf{\text{F}}$ 三个坐标的定义。
$\begin{array}{r}\left(\text{curl}\phantom{\rule{0.278em}{0ex}}\mathbf{\text{F}}\left(x,y,z\right)\right)\cdot \stackrel{^}{\mathbf{\text{n}}}=\underset{|{A}_{\left(\left(x,y,z\right),\stackrel{^}{\mathbf{\text{n}}}\right)}|\to 0}{lim}\left(\frac{1}{|{A}_{\left(\left(x,y,z\right),\stackrel{^}{\mathbf{\text{n}}}\right)}|}{\oint }_{C}\mathbf{\text{F}}\cdot d\mathbf{\text{r}}\right)\end{array}$

## 将视角限于一个平面

$\begin{array}{r}\mathbf{\text{F}}\left(x,y,z\right)=\left[\begin{array}{c}{F}_{1}\left(x,y,z\right)\\ {F}_{2}\left(x,y,z\right)\\ {F}_{3}\left(x,y,z\right)\end{array}\right]\end{array}$

$\mathbf{\text{F}}\left(1.6,y,z\right)$

$\begin{array}{r}{\mathbf{\text{F}}}_{1.6}\left(y,z\right)=\left[\begin{array}{c}{F}_{2}\left(1.6,y,z\right)\\ {F}_{3}\left(1.6,y,z\right)\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{r}{\mathbf{\text{F}}}_{{x}_{0}}\left(y,z\right)=\left[\begin{array}{c}{F}_{2}\left({x}_{0},y,z\right)\\ {F}_{3}\left({x}_{0},y,z\right)\end{array}\right]\end{array}$

## 用组成部分做的概念定义

$\stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\begin{array}{r}\left(\text{curl}\phantom{\rule{0.167em}{0ex}}\mathbf{\text{F}}\left(x,y,z\right)\right)\cdot \stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}=\text{2d-curl}\phantom{\rule{0.167em}{0ex}}{\mathbf{\text{F}}}_{x}\left(y,z\right)\end{array}$

$\begin{array}{r}\phantom{\rule{0.278em}{0ex}}\text{curl}\phantom{\rule{0.167em}{0ex}}\mathbf{\text{F}}\left(x,y,z\right)=\stackrel{\text{2d-curl}\phantom{\rule{0.167em}{0ex}}{\mathbf{\text{F}}}_{x}\left(y,z\right)}{\stackrel{⏞}{\left(\frac{\partial {F}_{3}}{\partial y}-\frac{\partial {F}_{2}}{\partial z}\right)}}\stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}+\left(\frac{\partial {F}_{1}}{\partial z}-\frac{\partial {F}_{3}}{\partial x}\right)\stackrel{^}{\mathbf{\text{j}}}+\left(\frac{\partial {F}_{2}}{\partial x}-\frac{\partial {F}_{1}}{\partial y}\right)\stackrel{^}{\mathbf{\text{k}}}\end{array}$

$\begin{array}{r}\left(\text{curl}\phantom{\rule{0.278em}{0ex}}\mathbf{\text{F}}\left(x,y,z\right)\right)\cdot \stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}\stackrel{\text{定义}}{\stackrel{⏞}{=}}\underset{A\to 0}{lim}\left(\frac{1}{|A|}{\oint }_{C}\mathbf{\text{F}}\cdot d\mathbf{\text{r}}\right)\end{array}$
• $A$ 是在与$\stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}$平面垂直的平面上的一个二维区间, 并且经过点 $\left(x,y,z\right)$.
• $C$ 是边界 $A$.
• $C$的位置是用 右手法则决定的： 把右手拇指的方向对准 $\stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}$, 弯曲你的手指. 其余手指围着$C$ 弯曲的方向就是定积分的方向.
• $|A|$ 代表 $A$ 的面积.
• $\underset{|A|\to 0}{lim}$表示我们在考虑当$A$ 缩小至$x$不变的平面上的$\left(x,y,z\right)$这个点时的极限.

$\begin{array}{r}\left(\text{curl}\phantom{\rule{0.278em}{0ex}}\mathbf{\text{F}}\left(x,y,z\right)\right)\cdot \stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}\stackrel{\text{定义}}{\stackrel{⏞}{=}}\underset{|{A}_{\left(\left(x,y,z\right),\stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}\right)}|\to 0}{lim}\left(\frac{1}{|{A}_{\left(\left(x,y,z\right),\stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}\right)}|}{\oint }_{C}\mathbf{\text{F}}\cdot d\mathbf{\text{r}}\right)\end{array}$

• 确保你完全掌握了旋度在二维的定义.
• 了解此定义是如何将相同的概念应用于位于三维空间中的平面的.
• 确保你理解为什么 ${\mathbf{\text{F}}}_{{x}_{0}}$ 的二维旋度代表了$\mathbf{\text{F}}$的旋度的 $x$部分.

## 完全定义

$\begin{array}{r}\left(\text{curl}\phantom{\rule{0.278em}{0ex}}\mathbf{\text{F}}\left(x,y,z\right)\right)\cdot \stackrel{^}{\mathbf{\text{j}}}=\underset{|{A}_{\left(\left(x,y,z\right),\stackrel{^}{\mathbf{\text{j}}}\right)}|\to 0}{lim}\left(\frac{1}{|{A}_{\left(\left(x,y,z\right),\stackrel{^}{\mathbf{\text{j}}}\right)}|}{\oint }_{C}\mathbf{\text{F}}\cdot d\mathbf{\text{r}}\right)\end{array}$
$\begin{array}{r}\left(\text{curl}\phantom{\rule{0.278em}{0ex}}\mathbf{\text{F}}\left(x,y,z\right)\right)\cdot \stackrel{^}{\mathbf{\text{k}}}=\underset{|{A}_{\left(\left(x,y,z\right),\stackrel{^}{\mathbf{\text{k}}}\right)}|\to 0}{lim}\left(\frac{1}{|{A}_{\left(\left(x,y,z\right),\stackrel{^}{\mathbf{\text{k}}}\right)}|}{\oint }_{C}\mathbf{\text{F}}\cdot d\mathbf{\text{r}}\right)\end{array}$

## 任意单位法线向量

$\begin{array}{r}\stackrel{^}{\mathbf{\text{n}}}=\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\end{array}\right]\end{array}$

• 考虑从平面上的点衍生出来的向量.
• 把它们投射到平面上
• 测量随即在平面上出现的二维旋度.

$\begin{array}{r}\left(\text{curl}\phantom{\rule{0.278em}{0ex}}\mathbf{\text{F}}\left(x,y,z\right)\right)\cdot \stackrel{^}{\mathbf{\text{n}}}=\underset{|{A}_{\left(\left(x,y,z\right),\stackrel{^}{\mathbf{\text{n}}}\right)}|\to 0}{lim}\left(\frac{1}{|{A}_{\left(\left(x,y,z\right),\stackrel{^}{\mathbf{\text{n}}}\right)}|}{\oint }_{C}\mathbf{\text{F}}\cdot d\mathbf{\text{r}}\right)\end{array}$

## 总结

• 要在三维空间中定义旋度, 我们一次取两个维度. 将流体流动投射到单个平面上然后测量该平面上的二维旋度。
• 在使用二维旋度的正式定义时，也给了我们一种定义三维旋度每个组成部分的方法。 例如, $x$部分的定义如下:
$\begin{array}{r}\left(\text{curl}\phantom{\rule{0.278em}{0ex}}\mathbf{\text{F}}\left(x,y,z\right)\right)\cdot \stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}\stackrel{\text{定义}}{\stackrel{⏞}{=}}\underset{|{A}_{\left(\left(x,y,z\right),\stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}\right)}|\to 0}{lim}\left(\frac{1}{|{A}_{\left(\left(x,y,z\right),\stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}\right)}|}{\oint }_{C}\mathbf{\text{F}}\cdot d\mathbf{\text{r}}\right)\end{array}$
• 你可以用任何单位向量替换 $\stackrel{^}{\mathbf{\text{i}}}$ , 所以能在任意方向定义 $\text{curl}\phantom{\rule{0.167em}{0ex}}\mathbf{\text{F}}$ 的组成部分.