为什么要学习散度和旋度的正式定义？

在某些方面，伟大的数学艺术是找到正确的定义。它把一个零散的想法，一种直觉，转换成一种绝对缜密的东西。

对于接下来的几篇文章，需要先学会 散度 和 旋度 的相关知识。 尤其是如何计算它们，更重要的是，你应该感觉很自然地从流体的角度来解释每个运算。

因此，这几篇文章将这些流体解释转化为数学定义。

散度和旋度是两个有趣的运算，它们的定义方式与实际计算它们的方式不一样。 我们用来计算的公式不是正式的定义，例如 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{F}}$‍ 和 $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{F}}$‍。正式的定义包含某些积分，这些积分恰好符合流体的直观理解。

不幸的是，这些定义在我们的实际计算中并不实用，所以它们更常用于介绍公式 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{F}}$‍ 和 $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{F}}$‍。 幸运的是，它们还有一些的相关的可计算公式。

好吧，并不完全是这样。确实，这些定义并不需要你去记住或者应用于实际情况。然而，我认为要理解关于散度与旋度的解释，理解这些定义是最好的方法。他们也是应用曲线积分和曲面积分的不错的练习。

此外，也许更重要的是，你很快就会在多变量微积分中学习到的一些重要话题，包括格林定理和斯托克斯定理，它们将散度与曲线积分和曲面积分联系起来。 我向你保证，如果你对散度的实际定义有一个透彻的理解，那么了解这些定理到底在说什么就容易多了。

散度也是如此，格林的散度定理和三维散度定理是两个更重要的话题，当你知道散度的真正含义时，它们就更容易理解了。

尽管这样，即使没有学习散度和旋度的正式定义，也有可能理解所有这些定理，这样你就可以将这些文章视为可选的阅读。 但如果你现在把这些需要理解概念的任务提前完成了，以后就省事了。