格林定理示例 1

看看我们能不能用格林公式的知识 来解一些曲线积分 在我开始做例题之前，我要先 对格林定理澄清一下 之前我做的所有例题，都是一个这样的区域 然后这区域是在我们行走 方向的左手边 所以在我所有例题里我都是逆时针走的 这样我们的区域就在左手边……你可以假设自己 在这条道路上行走，它会一直在你的左边 这是能用格林定理的情况 所以假如你沿着这条路径求曲线积分 或者我们可以细分说这是一个闭合曲线 积分 在某些课本里你会见到……沿着曲线c f点乘dr。这等于这个区域R内的二重积分 Q相对于x的偏导数，减去 P相对于y的偏导数，dA 然后再提醒一下，现在这个P和Q来自 f的各部分 f(x,y)会写成P(x,y)乘i加上 Q(x,y)乘j 那这是一个区域在我们在路径上 行进方向的左手边的情况 假如这是反过来的，那我会在这里 加一个负号 假如这个箭头是反过来的，我们会在这加一个负号 我们能这么做因为我们知道当计算 向量场上的积分是，假如我们方向反过来 那积分就变成负的了 我记得在4,5个视频之前讲过 说完了这些，把格林定理写在 这里比较方便 我们一起来做道题 假设我有一个曲线积分 沿着一条曲线 我等一下就定义这曲线 但是假设我们要计算的积分是x平方 减y平方dx加2xydy 然后我们的曲线……题目给了边界 是这个区域的边界 我换个颜色 曲线是这个区域的边界 区域是所有满足x大于等于0， 小于等于1，然后 y大于等于2x平方并且小于等于 2x的所有点(x,y) 那我们来画这个区域 让我现在来画y轴 我的y轴然后这是x轴 然后我们看看，x从0到1 这当然是0 然后假设这是x等于1，这是 所有x值 然后y会变化，它大于2x平方并且小于2x 通常来说，如果数够大的话，2x平方会更大 但是假如你小于1，这其实比 那个还小 所以上界是2x，这是(1,2) 这是y等于2x的直线…… 让我画得直一点 这是直线y等于2x，看着大概是这样 这是y等于2x 估计我会用黄色 然后下面的曲线是y大于 2x平方 看着大概是这样 当然了，题目所说的就是这个区域 但我们要的是区域边界的曲线 然后我们会以逆时针方向前进 这我得确定了 所以我们的曲线，可以在任何地方开始 但是要这么走 走到这个点，然后沿着另一条 曲线走下来 这满足了区域一直在我们 左边的要求，所以我们可以直接用 格林定理了，我们不需要加负号 然后我们来定义我们的区域 然后我们来定义我们的区域 这个积分等于…… y从y等于2x平方到 y等于2x 那我们估计先从y开始积分 然后x，在外面 x的范围是从0到1 所以题目已经给我们建立好了定积分 现在我们只需知道这里面 是什么——格林定理 我们的f在这里看着是这样的 f是f(x,y)等于x平方减 y平方 i 加2xy j 我们已经在很多个视频里看过了 你求这个和dr的点积 你会得到这个 所以这个表达式是P(x,y) 然后这个表达式是Q(x,y) 所以里面我们可以直接使用 格林定理 所以Q相对于x的偏导数 相对于x的导数 我们得到2y 然后我们要减去P相对于 x的偏导数 计算这个相对于y的导数 会得到0，然后这里相对于 y的导数是负2y 就是这样 所以这个化简成了2y减负2y 也就是2y加2y 负负得正 然后为了节约空间 这里是4y 我不打算重新写边界了 这里等于4y Q相对于x的偏导数2y，减去 P相对于y的导数 也就是负2y 然后负负得正 得到4y 现在我们求这里面相对于 y的反导数，我们会得到2y平方 让我写在下面一点 我们会得到2y平方，假如你求这个相对于 y的偏导数就会得到4y 我们要计算这个从y等于2x平方 到y等于2x 当然，之后我们还有这个外面 的积分需要计算 x从0到1dx 这个等于从0到1的积分 我们先求在2x的值 把2x代入这里，2x平方等于4x平方 2平方x平方等于4x平方，再乘2 等于8x平方 减去……代入这个 2x平方的平方是4x的四次方 4x的四次方程2是8x的四次方 我没错吧？ y替换成2x平方 y替换成2x平方 这个的平方是4x的四次方 乘上2是8x的四次方 很好 好的 现在dx 这个很直接 一维的积分 这等于……我会写在这里 这等于8x平方的原函数 也就是8/3的三次方 然后8x四次方的原函数 是8/5x的五次方 然后我们要计算从0到1 或者我们可以画一条线 当你代入1的时候，你会得到……我 换个颜色 我们得到8/5乘1的三次方，也就是8/5 减去8/5 然后我们要减去……当你代入0的时候 这全是0 哦不好意思 这是一个错误 是8/3 8/3乘1的三次方减8/5乘1的五次方 这是负8/5 然后当你代入0的时候 你就会得到一堆 不用理的0 现在我们只需求这两个分数的差 公分母是15 如果我们在分子和分母 都乘以5，8/3就等于 40/15 然后假如我们将这个的分子和 分母都乘3，会得到24/15 所以减24/15我们得到这个等于16/15 所以利用格林定理，我们得到 这个积分的结果 等于16/15 希望你觉得这有帮助 我会在下个视频里再做一个例题