格林定理示例 2

假设我在xy平面里有一个单位圆 的路径 这是y轴，这是x轴，然后我们的路径 是一个单位圆 然后我们要这么走 我们以顺时针方向走 理解了吧 所以它的公式是单位元 公式是x平方加y平方 等于1，单位圆的半径是1 然后我们想知道在这个曲线c上的 曲线积分 这是一个闭合曲线 沿着这个方向的2ydx减去3xdy 那我们很想用格林 定理，那就用吧 来试一下 这是我们的路径 根据格林定理，我们知道 f点乘dr在某个曲线上的积分，这里f等于…… 让我写好看点 f(x,y)等于P(x,y)i加Q(x,y)j 这个积分等于在这个区域的二重积分 这题里就是 这个区域 在这个区域内Q相对于x的偏导数 减去P相对于y的偏导数 全部乘以dA，面积的微分 区域我刚刚给你展示过了 现在，你有可能还记得，这有一个 可能会导致你答案错误 的小细节 在上一个视频里，我们说格林定理仅当在 我们逆时针走的时候管用 注意我甚至在这个地方也是 逆时针走的 在这个例题里，曲线是顺时针的 区域在右手边 格林定理适用于区域在左手边的时候 在这个情况里区域在右手边，然后 我们……这里是逆时针 在这道题李我们是顺时针的，区域在 我们右手边，格林定理是这个 的负数 所以在这道题里，我们要求c的积分 并且沿着顺时针方向走 或许我该这么写，f点乘dr 等于在这个区域的二重积分 然后你可以将这两个对调，P相对于y的 偏导数减去Q相对于x的偏导数dA 那我们一起来 在这道题里，这等于 在这个区域的积分……我们先 抽象一点 我们可以直接开始写边界，但 先保持抽象一点 P相对于……我们回忆 一下，这个是……我们应该可以直接 识别出来了，假如我们计算f点乘dr我们会得到这个 dr对应这两个部分 f对应这两个部分 所以这是P(x,y) 这是Q(x,y) 我们见过的 我不想再重新来一遍和 dr的点积 我觉得你应该可以看出这是两个 向量的点积了 这是f的x部分，f的y部分 这是dr的x部分，dr的y部分，那我们 来求P相对于y的偏导数 求相对于y的导数，得到2 2y的导数是2 你得到2，然后减去Q 相对于x的导数 这个相对于x的导数是负3 我们得到负3，然后全部dA 这等于在这区域的积分 2减负3是多少？ 这等于2加3 所以是在区域内5dA的积分 5就是个常数，所以我们可以将其从积分内提取出来 所以其实这是个很简单的问题 这等于5乘在这个区域R的 二重积分dA 那这是什么？ 那这是什么？ 这看着很抽象，但我们可以计算 这其实就是这个区域的面积 这是这个二重积分所代表的 你就是求所有微小dA的和 这是一个dA，这也是一个dA 你求区域内这些无穷小dA的 无穷和 那单位圆的面积是多少呢？ 这回到初三的内容了…… 其实应该比那还简单……应该是 中学几何 面积等于πr平方 我们的半径是多少？ 这是单位圆，半径是1 半径长1 所以面积是π 所以这整个东西 等于π 我们曲线积分的答案就是5π 非常简单 当然，我们可以花功夫来建立 二重积分然后求相对于y的 原函数，然后写y等于负根号1减去 x平方，到y等于正根号 x从负1到1 但那会非常难看和复杂 我们只需要知道，这就是面积 然后另一个有意思的是，我想让你 不用格林定理来求这同样的积分 你懂得，先建立一个这个曲线 的参数，沿着这个方向，求x(t) 和y(t)的导数 与对应的东西相乘，然后求 原函数……比我们用格林定理得到5π的 办法麻烦多了 然后记住，这不是负5π的原因是 我们在沿顺时针方向走 假如我们沿着逆时针方向，我们可以直接 套用格林定理，然后我们 会得到负5π 总之，希望这对你有帮助