格林定理证明（第二部分）

还是跟上一个视频一样， 同一个曲线，或者说路径， 画上 y 轴，画上 x 轴， 路径是这样的， 是这样一条环路。 与上一个视频一样的一条环路， 看着稍有不同，不过没关系， 上个视频怎么画的？ 看着不完全一样，不过足够了。 假设这就是上一个视频的曲线， 记作曲线 c， 上个视频中，我们处理的是 只有 i 方向的向量场， 现在我们建立一个 只有 j 方向的向量场， 也就是竖直方向。 我们说有 q，向量场 q(x,y)， 它等于大写的 Q(x,y) 乘以 j， 我们现在要关心的是， 我们现在要关心的是 沿着路径 c 的环路积分， 里面是 q 点乘 dr， 这我们见过， dr 可以写成 dx 乘以 i，加 dy 乘以 j， 然后我们要把这两部分点乘起来， 这个环路积分就等于 它就等于，还是沿 c 的环路积分， q 点乘 dr， 而 q 只有 j 分量， 所以是 0i， 0 乘以 dx 还是 0， 所以它等于 Q(x,y) 乘以 dy， 没有 i 分量， 所以它等于 Q—— 我用一样的颜色吧， Q(x,y) 乘以 dy， 因为点乘运算， 没有 i 分量，所以 dx 也没了。 我们来试一试， 看不用再引进一个参数 t， 能否解出这个曲线积分， 就像上个视频， 实际上，与上个视频几乎一样， 只不过现在是处理 y，不是 x。 我们现在要问自己 y 的最小值和最大值是什么？ 最小的 y， 比方说它在这里， 最小的 y 我们记作 a， 我们能达到的最大的 y 在这里， 记作 b。 噢，跟上回一样， 我又忘记说路径的方向了。 因为路径跟上次一样， 所以也是逆时针方向。 曲线和方向都完全一样。 是这个方向， 上个视频中，我们把它分成了 两个关于 x 的函数， y 关于 x 的函数。 而现在我们面对的是 y， 所以要把它分成两个 y 的函数， 如果我们把路径分成两条路径， 这就是两个极值点， 我们把这个路径称作， 这条路径，我们称作 y—— 称作 x—— 这里这条路径，即 x 等于—— 或者我就写为路径 2，c2， 然后我们说， x 等于 x2(y)， 这是这条路径。 然后第一条路径呢， 也不一定是第一条，要看从哪开始了， 从哪开始都行， 我们说红色这条路径， 称作路径 1， 我们把它定义为 x 等于 x1(y)， x 等于一个 y 的函数，感觉怪怪的， 但它和上个视频完全类似， 实际上只是把 x 和 y 交换了， 现在 x 是 y 的函数， 而非 y 是 x 的函数。 现在我们有两条曲线， 可以想象成翻转过来 就跟上个视频一样了， 只不过用 y 来表示。 如果这样来看的话， 这个曲线积分就可以写成， 等于积分——我先处理 c2， 从 b 到 a 的积分， 从 b 开始，然后到达 a， 就是说从较大的 y，到较小的 y， 从 b 到 a 的积分，Q—— 我用灰色， Q，括号中不写 x， 我们知道在这条曲线上，x 等于， 都要表示成 y， 所以，x 等于 x2(y)， 所以是 Q(x2(y),y) 也许颜色太多了， 但我估计你能明白，然后是 dy。 这就是整个曲线积分的一部分， 就是左边这部分。 然后就要加上另一个曲线积分， 其实就是定积分， 从 y 等于 a， 到 y 等于 b， Q——这次不是 x2，而是 x 等于 x1(y)， 它是这条曲线， 是另一个函数， 这是 x1(y)， x1(y) 逗号 y，然后是 dy， 后面的操作就跟上回一样了， 除了，我们不喜欢大数字在下面， 所以上下交换一下， 上下交换的话，如果这里变成 a， 这里变成 b， 这个积分就加个负号， 交换上下限，就等于改变方向。 这跟上个视频一样， 没什么新鲜的。 现在，积分区域是一样的， 这两个定积分 就可以写成一个定积分， 所以它等于从 a 到 b 的定积分， 我先写这一项，因为它是正的， 我先写这部分， Q(x1(y),y) 减去这一项，对吧？ 这里有负号， 减 Q(x2(y),y) 然后 dy。 我用中性的颜色， dy，前面所有部分一起乘， 我把 dy 提出来了，我想你明白， 这个很像上个视频， 可以继续推导， 它等于从 a 到 b 的积分， 里面这样写， 我们写成函数 Q(x,y) 的取值， Q(x,y) 在上下限的取值， 其中上界， 上界是 x 等于 x1(y)， 而下界是 x 等于 x2(y)， 对吗？ 所有的 x 都替换成这个， 就得到一个表达式， 然后再减去 将 x 替换成 x2(y) 的表达式。 与上一个视频完全一样， 我们要把普通的定积分计算反过来， 通常积分后得到这个， 然后再得到这个。 但我们现在反过来， 反过来是一样的。 整个乘以 dy。 就像上个视频， 这部分，我用橘色画出来， 这个表达式， 我还是把 dy 写远一点，不然分不开了。 dy 放在外面这个位置， 这个表达式，这整个部分， 完全等于这个积分，从 x 等于—— 我写到这里，用相同颜色写， x2(y) 到 x1(y)， 里面是 Q 对 x 的偏导，然后 dx。 再说清楚一些， 这部分， 至少在我脑子里， 对它有些迷惑。 但如果你看到这样一个积分， 它是一个二重积分的内层， 而外层，就是这个， 积分，从 a 到 b，dy。 但如果你先遇到的是这个二重积分， 那你肯定是先求它的反导数， 它对于 x 的反导数， 而 Q 对 x 的偏导数再 dx 的反导数， 就等于 Q(x,y)。 而且由于它是定积分， 你还需要将 x1(y) 代入， 然后减去 x2(y) 代入的函数值， 这就是我们前面的式子， 所以这个等号没问题。 然后我们得到了结果， 跟上一个结果很像。 这个二重积分表示什么？ 它表示，好吧， 如果你见到任何一个二重积分， 它从—— 这是某个函数， 我把它画在三维坐标系中。 这基本上就是 把上个视频复习了一遍。 这是 y 轴，这是 x 轴，这是 z 轴。 这是某个关于 x 和 y 的函数， 表示某个曲面，基于 xy 平面， 这是那个曲面。 你可以认为它 就是这个 Q 对 x 的偏导数， 那么这个二重积分， 实际上它定义了一个区域， 然后你可以把 dx 乘以 dy 看作面元， 这个题中的区域， 也就是边界点， y 从—— 在下面，从 x2(y)， 也就是这样一条曲线， 这是较小的 y—— 我画在二维平面上， 这是较小的 y 曲线， 较大的 y 曲线是 x1(y)， 这就是较大的 y 曲线。 较大的 y 曲线是这个样子。 所以 x 值是从较小的 y 曲线， 移动到较大 y 曲线，对吧？ 就是这部分表示的意思， 而 y 值是从 a 到 b。 所以这个式子实际上是在说： 请在这个区域之内，对这个函数进行二重积分。 它实际上就是体积—— 如果把边界看成是竖直的墙的话， 它就是这块地方的体积。 我不知道上表面是什么形状， 但你也可以想象这个样子， 它就是这个体积， 这个式子就是这个体积。 这和上个视频的结果很像， 这是个精妙的结果， 因为忽然之间，这个向量场—— Q(x,y)，我忘了把它画出来， Q(x,y) 只在 j 方向上有值， 我要画的话，就只有上下方向， 它们没有水平方向的分量。 但我们看到， 当我们有这样一个向量场， 你沿着这条曲线进行环路积分， 我在这重新写一遍， 你沿着这条曲线进行环路积分， 里面是 q 点乘 dr， 它就等于沿曲线环路积分，里面是 Q(x,y) dy， 而根据刚才的推导 它就等于 在区域上的二重积分， 这是积分区域，对吗？ 我们在这就是这样做的， 给了区域，就需要定义它， 你得说，x 是从这个函数，到这个函数， 然后 y 是从 a 到 b， 如果还不清楚， 可以去复习二重积分那一课。 所以是这个区域上的二重积分， 里面是 Q 对 x 的偏导数， 然后是，也可以写 dxdy， 或者直接写面元 dA，对吗？ 面积的小微元，dA 与 dxdy 是一个意思。 如果我们把上个视频的结论也结合起来， 就会出现精妙的结果， 上个视频的结论在这里， 如果我们有只跟 x 有关的函数， 那么结论是这个， 结论是这个。 我把两个结论都粘贴到空白的地方， 然后我们就能得到那个精妙结果。 我来拷贝粘贴， 这是上个视频我们的结论， 这个视频我们得到这个结论， 我把它也粘贴过去， 你可能已经看出来我要干什么了， 我把它粘贴在这里， 这是这个视频的结论， 现在，我们来考虑一个任意的向量场， 它定义为—— 我用粉色， 设 f 是在 xy 平面上定义的向量场， f 等于 P(x,y) i 加 Q(x,y) j， 你可以把 f 想象成上两个视频中 向量场 P 和 Q 的和， Q 是这个视频里的，P 是上个视频里的。 但这就是任意一个向量场， 然后我们说，向量场—— 对向量场沿着某个路径的曲线积分， 不用跟之前一样，是任意一条路径， 任意一条路径， 我画一条任意的路径， 比方说，这就是任意的一条路径，任意曲线， 我们规定，方向是逆时针， 像这样， 然后我关注的就是， 这个环路积分， 沿着这条路径 f 点乘 dr 的环路积分， 等于什么？ 我们见过很多次， dr 就等于 dx i 加 dy j， 所以这个曲线积分可以写成， 它等于沿路径 c 的环路积分 f 点乘 dr，它就等于这一项乘以 dx， 等于 P(x,y) 乘以 dx 加上这一项，Q(x,y) 乘以 dy， 而这整体实际上就等于 曲线积分 P(x,y) dx 加上曲线积分 Q(x,y) dy， 它们又是什么呢？ 这就是上一个视频里解决的， 这就是这个视频里解决的， 这部分就是上面式子的左边， 所以它等于这个区域上的二重积分， 里面是负的 P 对 y 的偏导数， 不写 dy dx，直接写面元 dA， 然后加上这部分，就是这个结论，Q 这就是我们刚推导出来的， 在本视频前半部分得出的结论， 所以是加上，上面留着， 我想用黄色， 加上在同样区域的二重积分， 里面是 Q 对 x 的偏导数，dA， 也就是 dy dx，或者 dx dy， 顺序不重要， 就是面积上的小微元。 然后，我们把两个积分加起来， 得到什么？ 它就等于—— 这就是我们的精妙结果了， 这里一定是玫红色才行， 在这个区域上的二重积分， 我先写这个，因为它是正的，它是负的， Q 对 x 的偏导数，减去 P 对 y 的偏导数， 然后是 dA，面积的小微元。 这就是结果。 我们一直期盼的结果。 我写下来， f 点乘 dr 在环路上的曲线积分就等于 这个表达式的二重积分。 需要记住： 对于只跟 x 分量相关，或者 i 分量相关的函数， 我们求它对 y 的偏导， 而对于只跟 y 分量相关的函数， 我们求它对 x 的偏导， 然后对第一个，我们加个负号， 这样容易记， 但是，这个结果， 它就是—— 我应该用绿色（green）， 因为它就是格林（Green）定理。 它巧妙的搭了一座桥， 将在向量场中的曲线积分—— 有这样偏导数的向量场， 与在这个区域上的二重积分联系起来。 简单延展一下， 之前看过很多视频， 我们知道如果 f 是保守向量场， 也就是说它是某个函数的梯度， 它是与路径无关的， 沿任何闭合路径的积分都是零。 在这里仍然成立。 所以，这就说明如果 f 是保守的， 这一部分，一定等于 0。 因为只有在这种情况下， 整个这个积分才会等于 0， 在任何积分区域都等于 0。 是因为互相抵消吗？ 但我说的是任何区域。 只有这种情况才成立， 这时这一部分等于 0， 然后也就是说，Q 对 x 的偏导， 减去 P 对 y 的偏导，必须等于 0， 也就是说这两者应该相等。 这像是格林定理的一个推论， 像是一个“低垂的果实”， Q 对 x 的偏导等于 P 对 y 的偏导， 如果你在微分方程课上学过全微分方程， 你就会很眼熟。 实际上，我不打算讲太深， 但保守场——曲线积分中的微分形式， 在保守场的情况下，它就变成了全微分方程。 我们不讲太多， 但希望你能感觉到， 全微分方程就在平行的那条路上。 话说回来，这个可是我们的重要结论， 下个视频中我们将用它来做些例题。