三维中区域的类型 I

在这几个视频中， 我们要讨论三维空间中的三种不同类型的区域。 这是很有用的， 尤其是在计算二重或三重积分 或者多变量微积分的一些证明中。 那么这第一个类型的区域， 名字很直观， 就叫第一类区域。 首先给个正式定义， 希望定义能给你一些直观认识， 然后我举些第一类区域的例子， 然后再举个反例，怎样不算是第一类区域， 有时这才是更关键的问题。 那么第一类区域，记作 R，是一个集合—— 大括号表示集合—— 集合由这样的 x、y、z 组成， 所有三维空间中的点， 满足 x 和 y 属于某取值范围， 属于——这个符号是属于的意思—— 属于某取值范围， 然后 z 可以—— 实际上是可以在关于 x、y 的两个函数之间取值。 我写下来， f1(x,y) 是 z 的下界， 它小于等于 z， 然后小于等于另一个 x、y 的函数， 小于等于 f2(x,y)， 好，大括号完， 就是这个集合。 这是关于 (x,y,z) 的集合， 后面就是它的定义， 那么什么样才算是第一类区域呢？ 最简单的第一类区域就是球体， 我们在这里画个球体， 在球体中，它与 x-y 平面的相交部分—— 实际上就是 x、y 的取值范围 D， 我用蓝色吧。 我用最大努力来画这个定义域， 这里就是取值范围 D， 在球体中。 这个球体的球心是原点， 但任意位置的球体， 咱们的逻辑同样成立。 这是取值范围， 然后 f1(x,y) 是 z 的下界， 它就是球面的下半部分。 从这个角度看不太清， 但它应该是—— 这个轮廓是它下半部分。 我用同一个颜色描出来， 球体的下半表面，就是我们的 f1(x,y)， 而 f2(x,y)， 自然就是球体的上半表面， 上半球面， 它是这个样子滴， 我现在画的这个东西， 就是一个第一类区域， 而且你将会看到， 它同时也是第二类和第三类区域。 但我先说它是第一类区域。 我再举个第一类区域的例子—— 这个可能更明显， 我再画个坐标系， 我要画一个柱体， 我明确一下， x、y 的取值范围， 肯定在 x-y 平面上， 但不一定在区域内—— 我们来考虑一个在下方的柱体—— 实际上我画在上方了—— 它在 x-y 平面的上方， 这是柱体的底面， 在这里。 同样明确一下， 它也不一定以 z 轴为中心， 但我这个视频就这么画了。 当然，我可以画的更好。 这是柱体的下表面， 然后这是柱体的上表面， 在这个位置。 上下表面也不一定是平的， 有可能是弯曲的面， 但在这个例子里， 我就画的简单一点， 在这个柱体中， 这个取值范围就是 x 和 y 所能取的所有值， 取值范围是这个区域， 在 x-y 平面上。 其中的每一个 (x,y)， f1(x,y) 定义了区域的下界， 所以 f1(x,y) 就在这里， 你给我取值范围 D 中的每一个 (x,y)， 你都可以带入这个函数中， 它就会对应到这个表面。 然后是 f2(x,y)，同样， 给我取值范围内的每一个(x,y) 点， 把这些点带入 f2， 就会得出上面这个表面。 然后我们说， z 可以取其间的所有值， 其实就是整个这个柱体—— 就是这个整个实心区域。 同样，这里， z 也是取红色表面和绿色表面之间的所有值， 实际上就填充了整个体积， 它是一个实心的区域。 现在，你可能好奇， 什么样的区域不是第一类区域呢？ 我们来想想这个问题。 实际上就是 我们不能用这种办法来定义的区域。 我尝试画一下， 你应该可以想到， 扭来扭去的形状， 这是一个—— 侧面看的哑铃， 侧面看的哑铃—— 画得弯曲一些， 这是哑铃的顶部—— 或者看作是沙漏，都可以， 看起来是这样。 我努力画出来， 看起来是这样， 那为什么它不能这样来定义呢？ 我们来看它的截面，这样更明显， 它没办法只用两个 z 的函数 来表示它的上界和下界， 所以就算你说，我这个 x、y 的取值范围 可以这样来定义—— 我看看能不能画好， 所以你说，我的 x，y 值—— 不行，我要重画， 要画的更好些。 所以你说，好吧， 类似哑铃形状—— 这里也要擦干净， 类似哑铃的形状—— 把这里擦除干净， 类似哑铃的形状， 我的 x，y 取值范围在这儿， 这范围里的 x，y 都可以取， 但这是一个哑铃形， 所以对任一 (x,y) z 将取值—— 不是简单的上表面和下表面， 因为 z 并没有取到其间的所有值。 我再画的清楚些， 我们的哑铃—— 它是以 z 轴为中心的， 这是它的中间， 它是这样的， 上面，这是 z 轴， 所以它是这样的。 然后往下，到 x-y 平面的下方， 情况一样， 在 x-y 平面下方，应该是这样的， 注意，对任何给定的 (x,y)， ——如果你非要把它认为是第一类区域， 你会说，这就是上表面， 然后你也会说，这就是下表面。 但请注意，z 不能取到其间的每一个值。 你需要把它分成两部分， 这样才能满足条件。 你需要把它分成两个分开的区域， 这是上区域的下界， 这是下区域的上界， 所以哑铃形本身不是第一类区域， 但你可以把它分成两个独立的第一类区域。 希望我讲明白了， 实际上，也可以这么想， 可能更简单些—— 如果我们从这个方向看， 如果我们只考虑 z，y， 如果我们只考虑在 z-y 平面上发生的事， ——这是 z 轴，这里是 y 轴—— 我们的哑铃看起来应该是这样， 我尽量把哑铃形画的好看些， 如果给定一个 (x,y)， x 就算是 0， 你就坐在 y 轴这里， 注意，z 甚至不是—— 甚至不是一个关于 y 的函数， 在上面部分，有两个 z 值对应给定的 y， 两个 z 值，对应一个给定的 y， 所以无法将其简单定义为 一个上界函数和一个下界函数。