斯托克斯定理证明第 1 部分

在这个视频中，我要来证明-- 其实，在这个视频和后面的几个视频中-- 我要证明斯托克斯定理的一些特例， 或者说，针对一个特殊情形的斯托克斯定理 我这样做是因为 这样对它的证明会简单一点 而在同时，它具有相当的说服力 我们对这个特例的假设就是 我们要处理的这个曲面是 x 和 y 的函数， 所以，如果你给我任何特定的 x 和 y ， 它只能确定曲面上的一个点 这样的一个曲面就是这种情况 它是一种对 x-y 平面上的这个区域 的三维映射 对于任何 x y，我们能确定高度 所以，实质上 z 是 x 和 y 的函数 我们能得到曲面上的一点 这个证明不能用于 像球体表面那样的曲面 在球面上，x-y 平面上的任何点 可以决定曲面上的 两个点 这是一个很好的开始 另外一个需要假设的事情， 我们要假设 z 是 x 和 y 的函数， 这个 x 和 y 的函数 有连续的二阶导数， 连续的， 连续的， 二阶导数 之所以我要做这个假设， 是因为这在后面的证明中会有帮助， 这样我们可以说 这个曲面， 或者说 z 对 x 的偏导， 然后求它对 y 的偏导， 这与 z 对 y 的偏导 然后再求它对 x 的偏导是相同的 要得到以上结论， 我们必须假设 这个 z 是 x 和 y 的函数 并且它的二阶导数是连续的 这里，我们写出了我们的矢量场 F， 我们在证明斯托克斯定理时需要与它打交道， 我们要假设 它有连续的一阶导数 在这些基础上， 让我们一起来想一想，斯托克斯定理告诉我们什么， 然后我们再考虑对于这个特例， 我们怎样把它写出来，然后，希望我们能看到 这两个表达式相等 我把它写出来， 斯托克斯定理告诉我们， 这个 F， F 点乘 dr 在某个路径上 -- 我们关心的路径 是这个路径， 我把它用蓝色画出来， 就是这个路径， 它是一条边界线， 它是我们这个曲面的边界线 它就是这里的这个 c ， 斯托克斯定理告诉我们，它们是相同的， 它就等于 这个曲面上 F 的旋度， F 的旋度 点乘 ds， 与这个曲面的点积的积分。 在这个视频中，我想集中精力-- 或许这个视频和下个视频-- 我想集中精力分析后半部分， 我要集中精力在它上面。 我想看看 如果给定前面的假设，我怎样来表示它， 然后我要看 在给定同样假设基础上，我们怎样表示它， 然后，希望我们能发现， 它们是相等的 我们从找出 F 的旋度开始 F 的旋度， F 的旋度， 等于-- 你可以把它看成德尔塔运算符 与我们的矢量场的叉乘，它等于 我们把它写成分量， i ，--我把它们用不同的颜色来表示-- i，j，和 k 分量， i，j，和 k 分量， 然后我要写出我们的德尔塔运算符， 或者我叫它偏导运算符， 对于 x 的偏导， 对于 y 的偏导， 对于 z 的偏导， 然后，我要写出 矢量场 F 的 i，j，和 k 分量， 我用绿色来写，好，我还是用蓝色吧 我们有 P， 它是 x，y， z 的函数， Q， 它是 x，y， z 的函数， 然后 有 R， 它是 x，y， z 的函数， 这样，计算它的值， 它就是 i 乘以 去掉这一列，和这一行， 它就是 R 对 y 的偏导 R 对 y 的偏导， 减去 Q 对 z 的偏导， 减去 Q 对 z 的偏导， 根据棋盘模式，减去 j 把它写得更好一点， 减去 j 乘以 R 对 x 的偏导， R 对 x 的偏导， 减去 P 对 z 的偏导， 减去 P 对 z 的偏导， 最后，+k +k 乘以 x 的偏导， 对不起，应该是 Q 对 x 的偏导， Q 对 x 的偏导， 减去 P 对 y 的偏导， 减去 P 对 y 的偏导， 这样，我们确定了 F 的旋度。我们今天就到这里， 我想让视频短一些， 下一个视频也是这样 我们要确定怎样表示 ds ， 然后我们要计算整个运算的值， 我们要求点积