斯托克斯定理证明第 3 部分

现在我们已经打下了基础 所以我们可以表示这个曲面积分 也就是我们写斯托克定理的方法的右边 我们现在可以把它表示成 在我们关心的参数的定义域上的二重积分 我们将在这个视频中做 在接下来的系列视频中 我们对这个表达式做同样的事情 我们要用格林定理来做 我们将要做的是 我们将会得到相同的表达式 它将会告诉我们斯托克斯定理是正确的 至少对于我们正在学习的 这类曲面来说是这样的 但它们是相当普遍的 现在我们试着做一下 那么曲面积分 我把它写在下面 这是曲面积分 f的旋度的曲面 我再往下一点 我们得到了F·ds旋度的曲面积分 在两个视频之前 我们已经算出F的旋度 我们差不多算出ds了 ds是这两个向量的外积乘以dA 这两个向量的 外积就是这个 所以我们可以写成 ds等于这个乘以dA 这是r关于x的偏导和 r关于y的偏导的叉乘 然后把这个乘以dA 所以这个表达式就是 F的旋度的点积 也就是上面这个点积下面这个点积 本质上，我们要取这个向量和 那个向量的点积然后把它乘以这个 我们可以把这个 看做一个标量。 我们来做一下 这就等于，当我们这样做的时候 所有这些我们现在 开始在参数的定义域内操作 所以它将从曲面积分 变成这个区域的二重积分 在我们关心的区域 这是参数的定义域，区域R 这就是我们如何处理到目前为止 遇到的曲面积分的方法 我们把它们变成了 参数区域的二重积分 这就变成了 在参数区域R上的二重积分 它是在xy平面上的区域R 现在我们可以求F的旋度与点乘ds的点积 也就是这里所有的东西 我看看能不能同时 在屏幕上显示它们 那就这样吧 首先考虑x分量 就得到了这个 然后是这个 两者相乘 负的我们可以交换一下顺序 z关于x的偏导乘以—— 我们要交换一下顺序 Q对z的偏导 减去R对y的偏导 现在我们考虑j分量 得到- zy乘以上面的所有这些 至少是j分量 的乘积 这个负号可以和这个负号消去 得到+ zy, z对y的偏导 乘以R对x的偏导 减去P对z的偏导 我说清楚点，这是R 然后是k分量 k分量是最简单的 因为这里是1 它等于1乘以 我用同样的颜色写 1乘以Q关于x的偏导 减去P关于y的偏导 最后，这里是dA 这个dA乘以所有的东西 我们加上括号，写成dA 所以我们就完成了 我们已经把曲面积分 表示为参数区域上的二重积分 在接下来的几个视频中我们要做的是 用格林定理做同样的事情 我们会看到我们得到了完全相同的值