斯托克斯定理证明第 4 部分

我们继续讲斯托克斯定理的证明 这次我们要关注斯托克斯定理 的另一方面 我们要试着求出 边界C上的线积分 这里是C，f·dr曲面的边界 我们将会看到 我们将会得到 和上面这个完全一样的结果 在这之前 我要绕一点路来建立这个 我们先把这个放到一边 我现在就把它删掉 我要做的就是 关注下面这个区域 xy平面上的这个区域 这是路径C，这是曲面的边界 我要关注的是 这个区域的边界 这条路径位于xy平面上 我称这条路径为C1 首先，我们可以考虑xy 平面上的路径的参数化 我们可以说C1可以被参数化为 x = x (t) y也是t的函数 t显然是我们的参数 它可以在A和B之间 也许当t = A时，它在这里 然后，当t变得越来越大 它会绕一圈 最终，当t = B 它到达相同的点 这就是我们的参数化 现在 为了让剩下的证明更容易理解 我要给你们一些复习 假设有一个向量场G G的最小值，定义在xy平面上 它可以在其他地方被定义 我们设G等于m (x, yi)加上N (x, yj) 这都是复习 我们很久以前见过这种情况 路径C1上的线积分是多少? 不是C，而是xy平面上的这条路径 路径C1上的线积分是多少? 我有时喜欢这样写 我用G，这样就不会和F混淆了 原始的向量场，G的向量场 沿着这条路径 G·dr dr就等于dxi + dyj 如果对这两个向量做点积 就会得到路径C1上的 线积分 记住，C1是下面这条路径 我用同样的颜色表示 这样你就不会觉得我在换颜色了 路径C上的线积分 但是当你取这个点积的时候 把x分量相乘 然后加上y分量的乘积 所以有m dx + n dy 我只是取G和dr的点积，n乘以dy 当你计算这些东西的时候 一种考虑方法是dx等于 我用不同的颜色写在这里 dx等于x关于t的导数 dt 对y也是同样的逻辑 dy等于y关于t的导数，dt 一种考虑方法是，这些dt消掉了 只剩下dx 这是一个很重要的问题 因为这样我们就可以 把这个线积分带入参数的定义域 那么，这个就等于 在参数的定义域内的积分 现在我们在t域中 t在a和b之间变化 我们在a和b之间的t域中 这个等于m乘以，不写dx了 写成dx/dt /dt 所以它是dx，我这样写 Dx, x关于t的导数，dt 这是第一个表达式，加上n 然后，完全一样的 乘以dy / dt 这些都是等价的表述 现在，所有这些都解决了 所有这些都只是一个提醒 这样剩下的证明就变得更直观了 有了这些 我们来计算C的 路径的参数化 记住，我们只是在xy平面下做了C1 现在我们要做C 它在这里，在xy平面上方 对于C, x和y的参数化 仍然是一样的 因为x和y的值 是一样的 这里的x和y值 和这里的x和y值是一样的 唯一的区别是我们现在有一个z分量 我们在上面定义了它 z分量是x和y的函数 它告诉我们要飞多高 我们可以参数化C，我可以把它写成一个向量 我来参数化一下 我把C写成一个向量 事实上,没有 我这样写 我写c，我用紫色 C，我们可以说x等于x (t)实际上 我把它写成一个向量 我要用一个向量r 不要和这个r混淆 这是两个不同的r 但我还是用r吧，因为这是惯例 为了参数化C 它是位置向量r 它是t的函数。 x仍然是x (ti) + y (tj) 现在我们有一个z分量 z是x和y的函数 它们又是t的函数 z是x的函数，是t的函数 y的函数，是tk的函数 它告诉我们，从多高的地方，得到每一个点 然后，再一次，我们知道 t在a和b之间t大于或等于a 小于或等于b 我们有了这个参数化 现在我们可以开始考虑 沿着这条路径f·dr的线积分 以前，我们是沿着这条路做dr的 现在我们在这条路径上做dr 这是我们的参数化r 就讲到这里吧，下个视频再见