斯托克斯定理证明第 5 部分

现在我们有了 曲面边界的参数化 我们来考虑一下线积分 这是我们原来的斯托克定理的左边 路径C上F的线积分 我们原来的向量F，点乘dr是什么。 现在，再一次 这个R我们说的是这个边界的路径 C，而不是C1 这是我们的基础材料 所以F·dr，我们记得F是什么 F在这里 它的i j k个分量就是P Q R 这很容易记 但我们想一下dr等于什么 我们要打破一些三维的 或者说是多变量 链式法则 dr等于dr/dt乘以dt 所以我们只需要算出 R对t的导数 这个我们要用到 链式法 我写下来 所以dr / dt等于 x对t求导乘以i 加上 y对t求导--j 因为z是x的函数，而x是t的函数 z也是y的函数，y也是t的函数 我们要打破多元链式法则 如果我们想求z对t的导数 我在这里单独做 然后我把它写下来 z对t的导数，我的概念是 z对t的变化 有哪些不同的变化方式? 它可以改变 因为x随着t的变化而变化 z可以因为x而改变 z关于x的偏导，当x关于t改变 但这并不是z变化的唯一方式 我们还要加上z如何随y变化 z关于y的偏导 乘以y关于t的变化速度 这就是多变量链式法则 所以这是dz/dt 我把它写在这里 我将使用稍微不同的符号 这和我们之前做的是一致的 这会让事情更清楚一些 它等于z关于x的偏导dx/dt 加上，实际上，我这样写 加上z关于y的偏导dy/dt 然后把这些都乘以k 有了这个，如果我们想知道dr是什么 Dr就是这整个乘以dt 我们来做一下 现在我们可以把线积分写在这里 现在我们要进入t域 所以t在a和b之间 F•dr，记住 F的分量是函数P Q R 每个都是x y z的函数 z是x和y的函数 我们稍后会考虑这些 再用一点多元链式法则 但是当我们做点积的时候 我们只需要把 相应的分量相乘 那么它将是，我复制粘贴一下 我把它写下来 向量场F 我把它写短一点 向量场F等于P (i + qj + R (k)) 所以当我们求F•dr的点积时 我们实际上是求这个和这个的点积 最后还要加上dt 所以我们得到P乘以dx / dt 加上Q乘以dy / dt加上R乘以这里所有的这些 也就是z对x的偏导dx / dt 加上z对y的偏导dy / dt 然后把整个式子乘以dt 我们不能忘记那部分 所以我们要把这个乘上dt 现在，我就讲到这里了 因为我害怕犯粗心的错误 我们现在要做的就是把这整件事 重新安排一下 注意到这个和这个是一样的 这样就得到了一种形式 我们可以利用这个边界来应用格林定理 然后再做一些代数运算 我们将会看到这个式子化 简成这个式子并证明了 特殊情况下的斯托克斯定理