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斯托克斯定理证明第 7 部分

用格林定理来完成证明. Sal Khan 创建

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视频字幕

上一个视频,我们讲到这里 我们已经把沿着我们的曲面边界的线积分 表示出来了 这是 F 点乘 dr ,我们的路径是这个边界 这里,这个路径 c, 我们已经用一个 围绕这个边界 c1 的线积分来表示它, 它就是区域 R 的边界 它对我们有价值的原因 就是现在我们可以对它直接应用格林定理, 把它转换成这个区域上的 二重积分,就是它包围的区域 我们来做一下 我们在这里应用格林定理, 格林定理 我把它框起来, 这是我们在上个视频中 为提醒我们自己而写下来的 这里,我给它加上方框 当你使用格林定理时, 你会得到, 它和这个 c1 包围的区域的二重积分相同 这个区域 R , 在我们的 x-y 平面上,这是求 这些项对 x 的偏导, --我用同样的绿色-- Q + R 乘以 z 对 y 的偏导 减去下面的项对 y 的偏导, P + R乘以 z 对 x 的偏导 然后 dA,我们这个区域的微分, dA 我们来计算它 我们要对这里的每个表达式求偏导, 我们会看到,如果我们把它展开,可以简化它们 我们会得到与它非常相似, 或者说实际上和它相同。 进而就可以让大家看到,在这个特例中, 这个线积分和这个曲面积分是相同的, 这将证明斯托克斯定理对这个特例成立 我们来做出它 我们来实施偏导运算 首先我们求 Q 的偏导, 我们要提醒自己,这里我们是这样做的 我们首先想到--我们看到 P,Q 和 R 都是 x, y 和 z 的函数, 我们假设如果 z 不是 x 的函数, 我们怎样表示它, 我们要求 Q 对 x 的偏导, 我们可以写出 Q 对 x 的偏导, 但是我们知道我们已经假设 z 本身也是 x 和 y 的函数 所以我们如果求它对 x 的偏导, 我们首先考虑 Q 怎样直接由于 x 产生变化? 然后, 它怎样由于其他因素因为 x 而产生变化? 这个因为 x 变化的其他因素就是 z , y 和 x 无关,但是 z 是 x 的函数。 我们要把这一条记在心里 我们需要应用多变量链式法则 当我们对这一部分求导时, 求整个函数对于 x 的偏导, 我们要考虑 Q 怎样 直接随着 x 而变化, 对它,我们还要加上 Q 怎样随着其他 变量随着 x 的变化而产生变化, 唯一的一个其他能由于 x 而产生变化的变量, --而Q 是 这个变量的函数,-- 就是 z , 所以 Q 会由于 z 的变化而变化,因为 z 由于 x 的变化而变化 这就是 Q 对 x 的偏导 加上 Q 对 z 的偏导 乘以 z 对 x 的偏导 如果我们重写 Q, 把 z 用 x 和 y 来代替,--因为 z 是 x 和 y 的函数 -- 我们只需要把第一项写在这里, 我们假设它表示为 x,y,和 z 的函数, 而 z 本身又是 x 的函数 这就是为什么我们必须用多变量链式法则 现在,我们来看下一部分 这两项都可能有 x 在其中, 这里我们要用乘积规则 首先, 我们求 R 对 x 的导数, 然后,乘以 z 下标 y 的偏导, 然后求 z 下标 y 对 x 的偏导,然后乘以 R, 再加上 要求它对 x 的偏导, 同样道理, R可以直接由于 x 变化而变化, 还可以由于 y 产生变化, 不,还可以由于 z 产生变化,把它乘上 z 随 x 的变化, 又是这样,你可以把它看作 是多变量链式法则在起作用。 我们在求第一项的导数 乘上第二项, --我把第二项用洋红色-- 乘上第二项, z 对 y 的偏导 加上第二项的导数, 也就是 z 对 y 的偏导 再对 x 求偏导, 这样就可以写成它乘以第一项,乘以R 这就是所有这些 对于 x 的偏导 然后我们需要减去 这些项对 y 的偏导 我们还是采用同样的原理 我们要减去-- 我在这里加上括号, P 可以直接由于 y 产生变化, 我要给 P 画上圈, 我要用一个没有用过的颜色, P 可以直接由于 y 产生变化, 所以我们可以说 P 对 y 的偏导, 它还可以由于 z 产生变化,而 z 的变化是由 y 的变化引起的 所以,加上它对 z 的偏导 再乘以 z 对 y 的偏导 我用同样颜色写 R, 加上 R 的导数 这里,我们已经确定它的表示, 这是对 x 的偏导数,而现在是对 y , 你必须小心 它就等于 R 对 y 的偏导 加上 R 对 z 的偏导 乘以 z 对 y 的偏导, 乘以 z 下标 x,再加上 -- 现在, 我们是在求第二项的导数再乘以第一项。 也就是 z 对 x 的偏导 再对 y 求偏导,就是 z 对 x 的偏导再对 y 求偏导 然后用它乘以 R 现在,我们看是不是可以把它展开, 希望能够得到简化 提醒一下,我现在是在 这个双重积分号的内部进行运算, 一旦我得到比较简洁的表示, 我会重新写出这个双重积分和 dA 我们把它重新写一下 它就等于Q 的偏导 -- 我要用同样的颜色区分方式 这里其实就是在做代数 Q 对 x 的偏导加上 Q 对 z 的偏导 乘以 z对 x 的偏导 再加上 R 对 x 的偏导 乘以 z 对 y 的偏导 然后,加上 R 对 z 的偏导 乘以 z 对 x 的偏导 乘以 z 对 y 的偏导 然后,有这一项, 我用紫色来写,--加上 z 对 y 的偏导,再对 x 的偏导,乘以 R, 现在,我们要减去所有 这些项 我用蓝色来做 减去 P 对 y 的偏导, 减去 P 对 z 的偏导, 乘以 z 对 y 的偏导, 然后从这个结果再减, 减去 R 对 y 的偏导,乘以 -- 我们把这一项乘进去, z 对 x 的偏导,减去 R 的偏导, 这里有些繁冗, 但是,希望能得到我们需要的结果 R 对 z 的偏导乘以 z 对 y 的偏导 乘以 z 对 x 的偏导 最后,这里这一项, 减掉这一项--因为括号外是负号, 减去 z 对 y 的偏导 不对,是对 x 的偏导再对 y 的偏导,R 现在,看看是不是等简化它 首先,它和它看着是相同的, 我们只需改变相乘的顺序, 这些是完全相同的项 所以,它就和它相消 因为在上面 我们已经假设函数 z 有连续的二阶导数, z 是 x 和 y 的函数, 它就等于它,我们现在可以说 这两项相互为负, 它们可以消掉 这样,这个表达式就简化了许多 我来看看是不是可以用什么方式 给它们分组,从而使得它更有意义 实际上,我是想看 我是不是能让它们和它相似 我们有包含 z 下标 x 和 z 下标 y 的这些项, 还有其他的项, 我用蓝色写 z 下标 x, 这一项有 z 下标 x, 这里这一项, 这里还有一项 我们把 z 下标 x,提出来, 得到 z 对 x 的偏导 乘以 Q 对 z 的偏导, 减去 R 对 y 的偏导 然后,我们来做 -- 我想采用相同的颜色, 我下一个是用黄色, 加上,--这些项都有 z 对 y 的偏导, 就是这一项和这一项, 它就成为 加上 z 对 y 的偏导 乘以 R 对 x 的偏导 减去 P 对 z 的偏导, 然后,我们还有这最后两项 上面,我用的是绿色, 这里,我再用绿色 对于这两项, 我写上加 Q 对 x 的偏导 减去 P 对 y 的偏导, 这样,我们的二重积分就-- 我不能说它简化成--可以说能够 重新写成这样 我们不应忘了,这些都是 我们对这个区域的二重积分的简化,dA, 这是我们 应用格林定理和多变量链式法则 以及其他运算方法的结果 我们已经可以说 在我们的曲面的边界上的线积分 和它是相同的 现在,我们可以把它和我们的曲面积分的结果进行比较, 我看看我这里是否还有空间, 拷贝, 然后看看这里是否还有空间来粘贴它 看着好像没有多少空间来粘贴它了, 无论如何我还是尽量去做, 如果我把它粘贴上, 你会看到,它们相同 我们的线积分和它相同, 它们完全相同 我们的 F 点乘 dr,在这个路径 c 上的线积分 简化为它,而我们的曲面积分 简化成它, 应用我们已经给出的假设, 它们都简化成同一个表达式 现在我们知道了,对这个特殊的情况, 我们的线积分等于我们的面积分, 我们做完了