斯托克斯定理与微积分基本定理

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格林定理和斯托克斯定理都是微积分基本定理的高维度版本，看看这是怎么做到的！

背景知识

我们要做什么

格林定理和斯托克斯定理, 以及其他几个多变量微积分的结果, 实际上只是微积分基本定理在更高维度上的类比.

微积分基本定理快速回顾

还记得微积分的基本定理吗?

它所描述的是:

$\int_{a}^{b} f^{'} (x) = f (b) - f (a)$ ‍

换句话说, 当你在数轴上的区间

[a, b]

上积分一个函数的导数时, 它等同于取函数在两个端点的值，也就是在

a

和

b

点的值, 并取他们的差.

格林定理

格林定理可以完全被视为是微积分基本定理的类比, 但是是对于二维.

$\iint_{R} 二维曲线 F d A = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

相对于取一个一元方程 $f$ ‍ 的导数, 它涉及的是一个二元向量方程 $F (x, y)$ ‍ 的 $二维曲线$ ‍ .
相对于在数轴上的区间 $[a, b]$ ‍ 之间积分, 取它在 $x y$ ‍-平面上的区间 $R$ ‍ 的二重积分.
一维区间 $[a, b]$ ‍ 的边界就是点 $a$ ‍ 和 $b$ ‍. 但是因为 $R$ ‍ 是二维的, 它的边界是一条曲线 $C$ ‍.
相对于在两个边界点 $a$ ‍ 和 $b$ ‍ 上取 $f$ ‍ 的值并取它们的差, 它取的是逆时针沿着 $F 的$ ‍边界 $C$ ‍ 的 曲线积分.

这里背后的思想是当你在一个区间上积分一个函数的 "导数" 时, 它的值只取决于那个函数在区间的边界上的值. 只是在二维中, 等同于导数的概念是

二维曲线

, 并且一个区间的边界涉及的是整个曲线而不是一组点.

斯托克斯定理

斯托克斯定理将这个概念引申至三维. 相对于只考虑一个在

x y

-平面上的区间

R

, 你考虑的应该是一个在存在于空间中的面

S

. 现在, 让

C

表示这个面的边界.

$\begin{array}{r} \iint_{S} curl F \cdot \hat{n} d Σ = \oint_{C} F \cdot d r \end{array}$ ‍

相对于一个一元方程 $f$ ‍, 或一个二维向量场, $F (x, y, z)$ ‍ 是一个三维向量场.
相对于求微分 $f^{'} (x)$ ‍, 或 $二维曲线$ ‍, 取全面的三维曲线 $F$ ‍.
相对于在区间 $[a, b]$ ‍ 上取一次积分, 或在一个二维区间取二重积分, 我们在三维空间里取 $S$ ‍ 的面积分. 取向量场的面积分涉及将向量场点乘单位垂直向量.
在右手边, 相对于写 $f (b) - f (a)$ ‍，也就是取 $f$ ‍ 在区间 $[a, b]$ ‍ 的边界上的值然后取差值, 我们要写的是我们方程 $F$ ‍ 沿着面 $S$ ‍ 上的边界 $C$ ‍ 的曲线积分, 就像我们在格林定理中做的一样.

更广泛的斯托克斯定理

如果你很好奇, 纯数学中有一个更高级的理论用了一个非常浓缩的公式来概括这些定理 (和其他的). 它被称为 更广泛的斯托克斯定理. 描述它的语言比较黄专业, 涉及到 "微分形式" 和 "流形" 的概念, 所以我们在这里不作拓展. 但如果你能理解上面的所有例子, 你就已经理解了这个统一的定理背后的思想和美妙.

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