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课程: 多变量微积分 > 单元 5

课程 6: 斯托克斯定理（文章）

斯托克斯定理

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这是格林定理的三维版本，将一个旋度向量场的曲面积分与围绕该曲面边界的线积分联系起来。

背景知识

非严格要求了解这些背景知识, 只是对于更好理解本节内容有帮助:

三维旋度的正式定义

这篇文章基于物理直觉

如果你想要一个关于斯托克斯定理进行计算的例子，你可以在这篇文章中找到。在这里，我们的目标是解释这个定理，以及理解它为什么是正确的。

我们要做什么

斯托克斯定理是格林定理的三维（3D）版本。

它与一个向量场旋度的曲面积分，和在这个曲面的边界的同一向量场的线积分有关：

$\overset{\begin{matrix} 向量场旋度的 \\ 曲面积分 \end{matrix}}{\overset{⏞}{\underset{S 是3D的曲面}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} (环量 F \cdot \hat{n}) d Σ}} = \underset{\begin{matrix} 曲面边界的 \\ 线积分 \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot d r}}$ ‍

$F (x, y, z)$ ‍是一个三维向量场。
$旋度 F$ ‍与 $\nabla \times F$ ‍意思相同。它是 $F$ ‍的三维旋度，即是一个向量场。
$S$ ‍是三维空间中的曲面。
$\hat{n}$ ‍代表着一个给出 $S$ ‍的单位法向量的函数。
$C$ ‍是 $S$ ‍的边界
$C$ ‍的方向是用右手定律找出的，如果你把你右手的大拇指指向单位向量 $\hat{n}$ ‍靠近边界 $S$ ‍的方向，并且弯曲你的其他手指，那么它们指向的方向则是 $C$ ‍的方向。

理解三维中的线积分

用

F (x, y, z)

代表一个三维向量场。

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把这个向量场想做一个气体的速度向量。

然后想象一下有一些封闭曲线

C

在这个向量场上。

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要怎么理解

C

旁边的线积分

F

呢？

$\oint_{C} F \cdot d r$ ‍

首先，在给曲线定向之前，这个积分是没有意义的。这个向量的微分

d r

代表着沿着曲线走了一小步，但是往哪个方向呢？在三维里，就不只是顺时针或是逆时针了，这个方向取决于当你看这个曲线时，你在的位置。我将在下面讨论如果在数学上指定方向。但现在，只看如何在图上画出来更好理解：

想象你是一只鸟，沿着曲线

C

飞行，而风正在像向量场

F

吹（在本动画里，你是一只球状的鸟）。

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想象你在沿着

C

上的每一步（每扇动一下翅膀？）为一个非常小的向量

d r

。考虑

d r

和来自向量场

F

的风速向量的矢量点积。当顺风的时候，这个点积是正的，当风是反方向的时候，这个点积是负的。

现在回顾一下我最初问的线积分：

$\oint_{C} F \cdot d r$ ‍

你可以把这看作你飞行过程中的风对你有多大帮助或者阻挡。它测量了围绕着 $C$ ‍的流量趋势。如果它是正的，那么风一般是有帮助的，而你也可以说它趋向在你的位置的方向来环绕

C

。如果是负的，你可以说它趋向在反方向环绕。

切碎曲面

你们中那些读了格林定理的文章的人将会发现下面的东西非常熟悉。

考虑一个空间里的曲面

S

，它的边界是曲线

C

。

C

就像一个刚浸过肥皂水的圈，而

S

就像刚从圈里出来的肥皂泡。

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将此曲面切成两半，并命名边界生成的两个部分

C_{1}

和

C_{2}

。如果它们都像

C

一样，那么在这些曲线旁边的（同一向量

F

的）线积分在这个切片边互相抵消里：

C_{1}

和

C_{2}

仍然构成原来的边界

C

。因此，在两半旁边的线积分总和等于

C

旁边的线积分总和：

$\underset{在 S 旁边互相抵消}{\underset{⏟}{\oint_{C_{1}} F \cdot d r + \oint_{C_{2}} F \cdot d r}} = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

更广泛的来说，想象把

S

切成很多的小块，命名它们为

C_{1}, \dots, C_{n}

，并且用定位

C

的方法来定位它们。这在三维中会看起来杂乱，所以我拿了一个格林定理的二维图，它们从基本上来说是一样的。

所有小块的线积分都会在

C

旁边互相抵消，只留下了与

C

的线积分一样的部分。

$\underset{在 S 旁边互相抵消}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{n} \oint_{C_{k}} F \cdot d r}} = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

每一块的旋度

这样切碎

S

的原因是线积分周围的一个非常小的环可以用旋度来取出近似值。具体来说，放大其中的一个特定部分。如果它足够小，那你可以把它当成平面的。

命名这一块的边界 $‘ ‘ C_{k} "$ ‍
在这个圈的表面上选择一些点 $(x_{k}, y_{k}, z_{k})$ ‍。
让 $\hat{n}$ ‍ 为在点 $(x_{k}, y_{k}, z_{k})$ ‍上的一个单元向量。“朝哪个方向？”，你可能会问。朝着圈 $C_{k}$ ‍的方向卷曲手指，伸出你的大拇指，那就是 $\hat{n}$ ‍的方向。
让 $d Σ$ ‍代表这一小块的面积（会用无穷小的面积来计算曲面积分）。

于是

C_{k}

旁边的

F

的线积分可以近似为：

$\underset{\begin{matrix} 边界块的 \\ 积分 \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx \overset{垂直于碎片部分}{\overset{⏞}{((环量 F (x_{k}, y_{k}, z_{k})) \cdot \hat{n})}} \underset{碎片的面积}{\underset{⏟}{d Σ}}$ ‍

如果你对你的旋度感到不熟悉，或者不知道一个向量怎么能代表旋转，你可以复习这篇关于旋度的文章。

以下是关于为什么近似值可行的原因：

环量 F (x_{k}, y_{k}, z_{k})

是一个向量，它告诉了你向量场

F

在点

(x_{k}, y_{k}, z_{k})

趋向于怎么旋转。例如：如果你想象有一个网球在太空中漂浮，它的中心在点

(x_{k}, y_{k}, z_{k})

，这个

环量 F (x_{k}, y_{k}, z_{k})

描述了风吹过时它旋转的趋向。也就是说，这个向量是沿着旋转轴定向的，它的大小和旋转速度成正比。

当我们取环量和

\hat{n}

的点积时，即曲面的单位向量，它提取了垂直于曲面的环量的分量。这描述流体在表面上的旋转。另一方面，这个流体旋转也可以用这个碎片旁边的线向量表现出来：

\oint_{C_{k}} F \cdot d r

。

实际上，这个线向量的值非常小（因为

C_{k}

非常短），但是

环量 F (x_{k}, y_{k}, z_{k})

的值并不取决与含有点

(x_{k}, y_{k}, z_{k})

的块的大小。这是我们把环量的相关分量缩小为一个小碎片的原因。

$\underset{\begin{matrix} 边界块的 \\ 积分 \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx \overset{垂直于碎片部分}{\overset{⏞}{((环量 F (x_{k}, y_{k}, z_{k})) \cdot \hat{n})}} \underset{碎片的面积}{\underset{⏟}{d Σ}}$ ‍

（想要更深入的了解近似值，请查看（三维旋度的正式定义）三维旋度的正式定义.)

旋度的曲面积分

结合上两个部分，我们得到：

$\begin{aligned} \underset{\begin{array}{c} 整个曲面的 \\ 边界积分 \end{array}}{\underset{⏟}{\oint_{C} F \cdot d r}} \\ ↓ \\ \underset{沿小碎片的积分总和}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{n} \oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \\ ↓ \\ \underset{对每片进行环量近似}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{n} 环量 F (x_{k}, y_{k}, z_{k}) \cdot \hat{n} d Σ}} \end{aligned}$ ‍

当我们把它切的更小，最后的和会接近

(环量 F \cdot \hat{n})

的曲面积分而不是平面

S

。（如果你没有理解，请复习曲面积分).

$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} 环量 F (x_{k}, y_{k}, z_{k}) \cdot \hat{n} d Σ \\ ↓ 当 S 被切的越来越小 \\ \iint_{S} 环量 F \cdot \hat{n} d Σ \end{aligned}$ ‍

把这些结合在一起，我们得到了下面这个方程，叫做斯托克斯定理：

$\begin{array}{r} \oint_{C} F \cdot d r = \iint_{S} 环量 F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

你可能会说我是从每个碎片的线积分的近似值开始的，而最后我却用没有近似值的方程来得到来结论。你这么问是对的。

这篇格林定理的文章里有差不多的逻辑，不同的只是在二维上，我解释了更多关于近似值是怎么消失的理由，如果你好奇的话，我建议你倒回去看看，并且思考关于斯托克斯定理和曲面积分的东西。

这个练习会让你更熟练三维旋度的正式定义。

选择方向

平面是由它们的单位向量来定向的。例如，你会通常见到一个曲面用朝外的单位向量来代表（但并不是所有的曲面都是朝外的vs.朝里的单位向量）。

曲线是由为其切线向量的方向定向的。

为了使斯托克斯定理发挥作用, 曲面的方向及其边界必须以正确的方式 "匹配"。否则, 该公式将关闭

- 1

的因子。以下是几种不同的你会听到人们描述这种匹配是什么样子的方式, ；他们描述的都是同样的事情：

如果你看这个表面的角度让所有的单位向量都正对你的脸，那么曲线应该是逆时针方向。
曲线的方向应该遵循右手规则，如果你用右手拇指指向在曲面边缘的单位向量，并卷曲你的手指，指出的方向则是它的方向。
当你沿着边界曲线行走时，你的身体指向着单位向量的方向，那么平面在你的左边。

吹泡泡

接下来是一些关于斯托克斯定理好玩的地方：曲面并不重要，重要的是它的边界是什么。

例如，想象一个特定的圈，并考虑所有不同的可以把这个圈作为边界的表面；所有的泡泡都能从这个圈中想象出来：

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对于任何向量场

F (x, y, z)

，它的曲面积分

\iint_{S} 环量 F \cdot \hat{n} d Σ

对每一个表面都是一样的。这不是很疯狂吗？这些曲面积分涉及到空间里的完全不同的点，但他们的结果是完全相同的，这仅仅因为它们共享一个边界。

这里告诉你的是环量有多么特别，因为对于大多数向量场而言，曲面积分绝对取决于手边的特定曲面。如果你学过保守向量场，这类似于路径无关，并且它指出了向量场梯度有多特别。

如果没有边界线会怎么样？

如果你有一个一个封闭的曲面，比如一个球体或是圆环，它们并没有边界。这代表着”边界的线积分“为零，那么斯托克斯定理如下：

$\begin{array}{r} \iint_{S} 环量 F \cdot \hat{n} d Σ = 0 \end{array}$ ‍

如果你回想关于切碎曲面来得到很多小的线积分，这基本上就是说所有的小的线积分都互相抵消掉了。

总结

斯托克斯定理是格林定理的三维（3D）版本。

$\overset{\begin{matrix} 一个环量场的 \\ 曲面积分 \end{matrix}}{\overset{⏞}{\underset{S 是三维中的一个曲面}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} (环量 F \cdot \hat{n}) d Σ}} = \underset{\begin{matrix} 曲面边界的 \\ 线积分 \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot d r}}$ ‍

线积分 $\int_{C} F \cdot d r$ ‍ 告诉了你有多少流体沿着 $F$ ‍ 顺着曲面 $S$ ‍的边界 $C$ ‍旋转。
左侧表面积分可以被看作是的在曲面 $S$ ‍上的所有小的流体旋转加起来。 $环量 F$ ‍代表了在每个点上的流体旋转，将其与曲面的单位向量 $\hat{n}$ ‍取点积时，即是在曲面上的流体旋转的分量。

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