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斯托克斯定理的条件

理解何时可以使用斯托克斯。分段光滑线条和曲面. Sal Khan 创建

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现在我们来探讨一下斯托克斯定理 我们讨论的问题中,我们可以用到它,你会发现 它是一个很普遍适用的定理,但是 我们确实有两个问题要关注,表面是什么类型的? 我们要处理的表面,它的边界是什么样子的, 当然还有斯托克斯定理,我们需要平面能够分段定义 分段光滑 表面分段光滑,这里的这个表面, 它实际上是光滑的,而非只是分段光滑 听起来很炫,但是所有这些光滑部分 意味着有连续的导数 因为我们谈到了表面,无论选哪个方向, 我们会有连续的偏导数, 所以,这个是连续的导数 另外一种概念上思考它的方式是, 如果你选择了一个方向,比如我们走这个方向, 这个方向的斜率度逐渐变化不会跳跃,如果你选这里这个方向 斜度率逐渐变化,所以我们有一个连续导数 你会问,分段是什么意思? 分段实际上就容许了我们在更多平面上使用斯托克斯定理 因为如果你有一个像这样的平面,比如说一个平面像这样 比如说,像一个杯形,这个是杯子上面的开口的部分 我们说,上面没有开口,所以我们可以看到杯子的后面 这个是杯子的这个面,这里这个部分是杯子的底部 如果它是透明的,我们就可以实际看穿透它 所以,像这样的表面,不是完全光滑的, 因为它有边,这里有些点,这里这个边 如果我们选它的话,比如我们说,我们选这个方向, 如果我们沿着底部这个方向,然后到达这个边,突然之间,斜率会是急剧变化的 所以,在边上,斜率不连续 斜率会跳跃,我们直接向上 所以这整个平面实际不是光滑的,但是分段实际上 给我们安排了一个出路,这个就告诉我们只要能够把 平面拆分成光滑的片段,就是可以的 这个杯子可以被拆开,但是我们等到计算表面积分时候再拆开 我们可以把它分成底的部分 也就是一个光滑的平面,它有连续的导数, 这个面,像是卷起来的样子, 也是一个光滑表面 所以,我们在传统积分问题中遇到的大部分 实际上,尤其是关于表面的部分,是符合分段光滑的 尽管实际上很难视觉上呈现,但是,我想象 这一切看起来很尖的部分,尽管很难分解成片段, 它们实际上是光滑的,这个是对表面来说的 但是我们为了应用斯托克斯定理,还必须注意到边界 就是这里,边界应当是简单的 也就是说,不会彼此穿过,一个简单的闭合的, 分段光滑的边界 再次解释一下,简单,闭合意味着它不是一个简单边界 如果它穿过自己,或者和自己相交,尽管你可以把它 分成两个简单边界,但是像这样的边界就是简单边界 所以这里是一个简单边界,它还必须是闭合的 也就是实际意味着,它自我循环,你有这样的边界 它实际上必须是闭合的,必须是自我循环的 为了运用斯托克斯定理,再次,它必须是分段光滑,但是现在我们讨论的是一个路径 或者是直线,或者是像这样的曲线,分段光滑意味着你可以 把它分成不同部分,每部分导数是连续的 我画这个,这个,还有这个的方式,斜率在逐渐变化, 这里,斜率像这样,当它沿着这个路径行进的时候, 它斜率逐渐变化,如果不光滑的话,不光滑路径 看上去像这样 看上去像是这种,不光滑的地方是在边上 这里,这里,这里都不光滑 但是我们的边界必须是简单闭合的,这个是简单的并且是闭合的 它不光滑,但是分段光滑,我们可以把它分成 路径的这个部分,就是这里的这个光滑的线, 这里这个线是光滑的,这里这个线是光滑的 这个线是光滑的,我们在计算线积分时候,已经做过了 我们把它分成光滑的部分,这样实际上就可以来计算线积分了 如果你有一个边界... 如果你有一个表面,是分段光滑的, 它的边界是简单闭合,分段光滑的 就可以应用定理了