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主要内容

直接求线积分 - 第 1 部分

表明我们没有必要使用斯托克斯定理来求这个线积分. Sal Khan 创建

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视频字幕

在上一个视频中,我们 通过采用斯托克斯定理,计算了这个路径的线积分 也就是说它与 一个矢量场的旋度与这个曲面的点积 在这个曲面上的面积分等价 在这个视频中, 我要让你们看到我们不是一定要用斯托克斯定理, 我们可以直接计算这个线积分 我们要记住 在这种情况下, 我们要根据是哪一种方法更简单来决定取舍 但是斯托克斯定理是很有价值的, 因为有时遇到的线积分, 采用斯托克斯定理 计算面积分更加简单 或者有时你遇到面积分 使用斯托克斯定理 计算线积分更加简单 我们现在来计算这个线积分 希望我们能得到同样的答案, --如果我们做对了每一步的话-- 首先我们要对我们的路径 进行参数化 这个平面 y + z =2 和这个空心管的交线 你可以想象,这个空心管与 x y 轴相交于这个单位圆 它可以上下延申 我们得到了这个路径,它是沿这个方向 因为我们只需要对一个路径进行参数化, 我们只需要和一个参数打交道 我们来考虑一下 我们过去做过多次, 但是再练习一次没什么坏处 这是我们的 y 轴, 这是我们的 x 轴, 这是我们的 x 轴, x 和 y 的值 就是这个单位圆上的每一个值 z 的值告诉我们, 到这个路径, 会在这个单位圆上方有多远 这样, x 和 y 取这个单位圆上的所有值, 我们过去做过多次了 能想到的最简单的方法就是 引入一个参数 θ ,它是 与正向 x 轴之间的角度的测量 这个 θ ,我们 要让它扫过整个单位圆, 因此 θ 就在 0 到 2π 之间 θ 大于等于 0,小于等于 2π 这样 x 就是-- 这是三角函数定义的单位圆,-- x = cos(θ), y = sin(θ), 然后, z,我们要有多高呢? 我们要用这个约束来帮助我们确定它的值, y + z = 2, 或者可以说 z = 2 - y, 如果 y = sin(θ),那么 z = 2 - sin(θ), 这样,我们就做完了, 这就是我们的参数化结果 如果我们想把它写成位置矢量方程, 我们可以写 r --它是 θ 的函数 -- r(θ) = cos(θ) i + sin(θ) j + (2 - sin(θ)) k 现在,我们可以试着 计算这个线积分了 我们需要知道 F 点乘 dr 是什么 要知道它,我们需要知道 dr 是什么, 我们要提醒自己, dr 就是 dr/dθ 乘以 dθ, 如果你求它对 θ 的导数, cos(θ) 的导数是 -sin(θ),-sin(θ) i , sin(θ) 的导数是 cos(θ), 加上 cos(θ) j, 而 2-sin(θ) 的导数 就是 -cos(θ),-cos(θ) k, 然后所有这些乘以 -- 我们还有 dθ , 这是 dr/dθ, 我们把它写下来, 我们还得写上 dθ , 我们现在可以求 F 和 dr 的点积了, 让我们想一想,F 点乘 dr, 我要用这个颜色写 dr , F 点乘 dr 就等于 -- 我们先看 i 分量, 我们有 - y平方 乘以 - sin(θ)。 它就是 -- 两个负号相消, 你就会得到, 你就会得到 y平方乘以 sin(θ) 这是从 i 分量来的,加上-- 现在我们有 x 乘以 cos(θ), 然后我们有 加上 z平方 乘以 -cos(θ), 它就是 -z平方乘以cos(θ) 所有这些乘以 dθ, 所有这些项乘以 dθ, 如果我们要计算这个积分, 如果我们要在这个路径上求积分, 现在,我们有它在 θ 域中的表达式, 我们可以说这是一个简单的 θ 从 0 到 2π 的积分 实际上,我们还没有完全在 θ 域中, 我们还有用 x, y, z 表示的项, 所以,我们必须把它们用 θ 表示 我们来做一下 它就等于从 0 到 2π 的积分 我给自己多留一些空间, 因为我觉得 它需要许多水平方向的空间 它就是 从 0 到 2π 的积分 y平方, y 就是 sin(θ), 就是 sin(θ)平方乘以 另一个 sin(θ), 这就是 sin(θ) 的3次方, 我用一个新的颜色, 我用蓝色来写, 这是 sin(θ)平方再乘以sin(θ), 这就是 sin(θ) 的3次方, 我用颜色表示, 它就是 sin(θ) 的3次方, 这里加上括号, 然后,x 是cos(θ), 这就是 加上 con(θ)平方, 然后 z 平方, 这有点复杂, 我们想一想, z平方是什么, 我在这里做 z 平方就是 4 - 4sin(θ) + sin(θ)平方, 这是 -z平方乘以cos(θ), -z平方等于 -4 + 4sin(θ) - sin(θ) 平方, 这是 -z平方,我们 要把它乘以 cos(θ), 我用橘黄色, 这里所有这些项 就等于cos(θ)乘以所有这些项, cos(θ)乘以所有这些项, 它就是 -4cos(θ) + 4cos(θ)sin(θ) - cos(θ)sin(θ) 平方, 看起来,我们做完了,至少这一步做完了,dθ, 现在我们只需计算积分的值 我们看到,我们已经构建好了最终的积分, 我们得到了一个简单的一维定积分, 它在这个情况下要简单很多 但是实际上要计算积分值, 还是有些复杂, 我们或许要依靠几个三角恒等式来突出重围以便正确地求解, 但是我们能解出来 但是,今天就到这里, 下一个视频中, 我们要求出这个积分