直接求线积分 - 第 1 部分

在上一个视频中，我们 通过采用斯托克斯定理，计算了这个路径的线积分 也就是说它与 一个矢量场的旋度与这个曲面的点积 在这个曲面上的面积分等价 在这个视频中， 我要让你们看到我们不是一定要用斯托克斯定理， 我们可以直接计算这个线积分 我们要记住 在这种情况下， 我们要根据是哪一种方法更简单来决定取舍 但是斯托克斯定理是很有价值的， 因为有时遇到的线积分， 采用斯托克斯定理 计算面积分更加简单 或者有时你遇到面积分 使用斯托克斯定理 计算线积分更加简单 我们现在来计算这个线积分 希望我们能得到同样的答案， --如果我们做对了每一步的话-- 首先我们要对我们的路径 进行参数化 这个平面 y + z =2 和这个空心管的交线 你可以想象，这个空心管与 x y 轴相交于这个单位圆 它可以上下延申 我们得到了这个路径，它是沿这个方向 因为我们只需要对一个路径进行参数化， 我们只需要和一个参数打交道 我们来考虑一下 我们过去做过多次， 但是再练习一次没什么坏处 这是我们的 y 轴， 这是我们的 x 轴， 这是我们的 x 轴， x 和 y 的值 就是这个单位圆上的每一个值 z 的值告诉我们， 到这个路径， 会在这个单位圆上方有多远 这样， x 和 y 取这个单位圆上的所有值， 我们过去做过多次了 能想到的最简单的方法就是 引入一个参数 θ ，它是 与正向 x 轴之间的角度的测量 这个 θ ，我们 要让它扫过整个单位圆， 因此 θ 就在 0 到 2π 之间 θ 大于等于 0，小于等于 2π 这样 x 就是-- 这是三角函数定义的单位圆，-- x = cos(θ), y = sin(θ)， 然后， z，我们要有多高呢？ 我们要用这个约束来帮助我们确定它的值， y + z = 2， 或者可以说 z = 2 - y, 如果 y = sin(θ)，那么 z = 2 - sin(θ)， 这样，我们就做完了， 这就是我们的参数化结果 如果我们想把它写成位置矢量方程， 我们可以写 r --它是 θ 的函数 -- r(θ) = cos(θ) i + sin(θ) j + (2 - sin(θ)) k 现在，我们可以试着 计算这个线积分了 我们需要知道 F 点乘 dr 是什么 要知道它，我们需要知道 dr 是什么， 我们要提醒自己， dr 就是 dr/dθ 乘以 dθ， 如果你求它对 θ 的导数， cos(θ) 的导数是 -sin(θ)，-sin(θ) i , sin(θ) 的导数是 cos(θ)， 加上 cos(θ) j， 而 2-sin(θ) 的导数 就是 -cos(θ)，-cos(θ) k， 然后所有这些乘以 -- 我们还有 dθ ， 这是 dr/dθ， 我们把它写下来， 我们还得写上 dθ ， 我们现在可以求 F 和 dr 的点积了， 让我们想一想，F 点乘 dr， 我要用这个颜色写 dr ， F 点乘 dr 就等于 -- 我们先看 i 分量， 我们有 - y平方 乘以 - sin(θ)。 它就是 -- 两个负号相消， 你就会得到， 你就会得到 y平方乘以 sin(θ) 这是从 i 分量来的，加上-- 现在我们有 x 乘以 cos(θ)， 然后我们有 加上 z平方 乘以 -cos(θ)， 它就是 -z平方乘以cos(θ) 所有这些乘以 dθ， 所有这些项乘以 dθ， 如果我们要计算这个积分， 如果我们要在这个路径上求积分， 现在，我们有它在 θ 域中的表达式， 我们可以说这是一个简单的 θ 从 0 到 2π 的积分 实际上，我们还没有完全在 θ 域中， 我们还有用 x, y, z 表示的项， 所以，我们必须把它们用 θ 表示 我们来做一下 它就等于从 0 到 2π 的积分 我给自己多留一些空间， 因为我觉得 它需要许多水平方向的空间 它就是 从 0 到 2π 的积分 y平方， y 就是 sin(θ)， 就是 sin(θ)平方乘以 另一个 sin(θ)， 这就是 sin(θ) 的3次方， 我用一个新的颜色， 我用蓝色来写， 这是 sin(θ)平方再乘以sin(θ)， 这就是 sin(θ) 的3次方， 我用颜色表示， 它就是 sin(θ) 的3次方， 这里加上括号， 然后，x 是cos(θ)， 这就是 加上 con(θ)平方， 然后 z 平方， 这有点复杂， 我们想一想， z平方是什么， 我在这里做 z 平方就是 4 - 4sin(θ) + sin(θ)平方， 这是 -z平方乘以cos(θ)， -z平方等于 -4 + 4sin(θ) - sin(θ) 平方， 这是 -z平方，我们 要把它乘以 cos(θ)， 我用橘黄色， 这里所有这些项 就等于cos(θ)乘以所有这些项， cos(θ)乘以所有这些项， 它就是 -4cos(θ) + 4cos(θ)sin(θ) - cos(θ)sin(θ) 平方， 看起来，我们做完了，至少这一步做完了，dθ， 现在我们只需计算积分的值 我们看到，我们已经构建好了最终的积分， 我们得到了一个简单的一维定积分， 它在这个情况下要简单很多 但是实际上要计算积分值， 还是有些复杂， 我们或许要依靠几个三角恒等式来突出重围以便正确地求解， 但是我们能解出来 但是，今天就到这里， 下一个视频中， 我们要求出这个积分