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直接求线积分 - 第 2 部分

只需一点三角函数积分就能完成线积分. Sal Khan 创建

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我们就剩下把这个定积分解出来了, 其实无非就是一个 求三角积分的练习 罢了。 但做这样的练习总是没坏处的, 让我们一步一步来吧。 那么我们看到了sin³θ。 没有直接可以求得sin³θ 的反导函数的方式。 但如果这里既有sin又有cos的话, 我们基本上就可以开始用u换元法了, 在这里你可以用心算。 我们能做的是将它写成一个乘积的形式。 我们可以将它写成sinθ—— 我在这里写好了。 这是sinθ乘以sin²θ。 然后sin²θ可以再写成 1-cos²θ。 所以这就等同于sinθ乘以 1-cos²θ。 然后如果将它乘出来,这 就等于sinθ减去sinθcos²θ。 这就比较容易来做积分了, 虽然这个表达式看着更复杂一些 但是这可以更容易求得sinθ的反导函数。 现在要求这个的反导函数就容易了 因为这里就有cosθ 的导数。 所以这就等于cos³θ除以3。 所以,本质上,我们在这里用了u换元法。 那么我就先做到这里。 让我们先将这一些写成 容易求反导函数的形式。 cos²θ,我们已知这是一个常用的三角式了。 这就等于1/2 (1 + cos2θ)。 同样地,这个就更加容易 求它的反导函数了。 所以我会写成加上1/2再加上1/2cos2θ。 那么现在,这些其实都挺容易 求反导函数的,所以我就 再写一遍就好。 那么减去4cosθ加上4cosθsinθ 减去cosθsin²θ dθ。 刚刚好能写得下。 然后定积分从0到2Π。 然后让我们将这里每一个的 反导函数都写出来。 这里开始就有点乱了。 我会尽力写得工整一些。 sinθ的反导函数 是-cosθ。 如果你要求cosθ的导数, 就会得到-sinθ。 然后这个负号相互抵消了, 就得到这个了。 然后是这里,cosθ 的导数,是-sinθ。 所以本质上我们就可以 把它看作是——我们可以把 cosθ看作u。 我们在脑子里就是这么算的。 因此它的反导函数 就等于加上cos³θ除以3。 然后1/2关于θ的反导函数 就等于加上1/2的θ。 cos2θ的反导函数——那么, 我们需要体现出它的导数 这里它的导数是2。 所以这里写一个2,但不能直接算术上乘以2。 要乘以和除以2。 所以这里放一个2,然后还要—— 还要除以2。 所以这就等于4。 然后这个还没改呢。 注意,现在是2/4(cos2θ)了, 这其实就等同于1/2(cos2θ)。 这是很有帮助,因为我这样写, 这里就出现了2θ的导数。 那么我们就可以说,那么,我们就 得到了这一整个的反导函数, 也就是sin2θ。 但还有一个1那么这一部分的反导函数 就是sin2θ。 然后这还有一个1/4。 所以是加上1/4(sin2θ)。 然后cosθ的反导函数 就是sinθ,所以减去4sinθ。 这里的反导函数, 我们可以选择自己想要的方式来进行。 我们可以说,sinθ的导数 是cosθ。 所以这里就等于4sin²θ 除以2。 或者不用除以2,不写这个4, 这借用4除以2,就得到2。 所以我擦掉这个然后在这写个2。 然后你就可以自己做了。 如果要求这一部分的导数, 就是sinθ的导数。 如果用链式法则, 也就是cosθ,然后乘以4sinθ。 也就跟这里一模一样了。 然后就是最后这部分了。 sinθ的导数是cosθ。 所以同样地,就好像我们刚做的那样, 这一整个的反导函数 就等于-sin³θ除以3。 然后在0至2Π之间 解出这一整个表达式。 让我们看一下怎么解。 那么首先,全部代入2Π。 这个代入2Π就是-1。 这个代入2Π就是1/3。 这个代入2Π就是Π。 这个代入2Π就是0,因为sin4Π 就等于0。 这个代入2Π就等于0。 这个代入2Π就等于0。 这个代入2Π就等于0。 所以就很简单了。 这就是代入2Π后的结果。 然后要从这里,我们要 减去代入0的结果。 那么cosθ,又等于1。 然后有个负号,所以是-1。 然后是+1/3。 然后等于0。 剩下这些都等于0。 如果将这些简化,就得到—— 就等于-1+1/3+Π。 然后是+1+1-1/3。 那么,这个相互抵消了。 这个相互抵消。 现在可以兴奋地敲鼓了。 全部简化后就好像我们 在那4个视频里用斯托克斯定理那样。 其实,我觉得 在这里直接算线积分会更简单一些。 我们最后简化得到Π。