斯托克斯示例第 3 部分

我们现在要准备进入到 计算这个表面积分的重要的部分了 我们需要把它重新表达为 一个在参数的定义域内的双重积分 我首先要做的 是把这里这个部分用我们的参数重写 我们已经知道，n，我们的法线向量乘以 表面的微分，可以被写成 表面微分的向量形式， 它指向和法线向量同样的方向 它们是同样的 然后我们需要确保， 这里构成偏导数的 叉积的顺序要正确 稍后我会来确定这个 相对于某个参数的 参数化的偏导数 叉乘相对于另外一个参数的 参数化的偏导数 然后，整个部分 我不会取绝对值，因为 我这里需要一个向量-- 乘以参数的导数-d θ dr 我们可以把这里二者交换顺序， 以简化最后这个二重积分的计算 但是我们不能交换这里这两个的顺序 因为这样的话， 它实际上改变了矢量的方向 我们要确保，它在正确的方向上 弹向我们 我们考虑一下 对r的偏导数的带来的方向 当r增加，我们会沿着半径方向 从表面的中心向外移动 我换个颜色表示 当r增加，我们沿半径方向向外 所以这个数量会是 看上去像这样的向量 然后，当θ增加 会大致沿着那个方向移动 如果我们取这两个的叉积-- 我们可以使用右手规则 伸出你的右手，食指指向 黄色向量的方向 我们讲清楚一些， 这里的是橙色的向量 将食指指向 黄色向量的方向 这个是我的食指， 粗略画的黄色的食指 中指指向橙色向量的方向 中指，弯曲一下 放在橙色向量的方向 我们不介意其他指头的方向 然后，你的大拇指的方向 就是叉积的方向 所以，大拇指应该是像这样指向外面 我已经尽量画的清楚一些了 这个就是我们需要指向的方向 我们需要它向上指向这里 以便正确定向 我们实际穿过路径的方向 它实际是正确的顺序 如果我们这样做了以后，我们的大拇指 会指向它，或者说是平面以下 然后我们实际上会交换方向 我们搞清楚了这个问题后， 我们就可以实际来计算这个叉积 对参数r的参数化的偏导数 叉积 对参数theta的参数化的偏导数 我要创建一个行列式来计算叉积 i，j，k，像这样 然后，首先，写下对r的偏导数 这个i部分，如果对它相对r取导数 它会是 cos θ 这个对于r的偏导数 就是sin θ 然后，这个对r的偏导数 是一个负的sin θ 然后，我们和这个交叉 所以，这个相对θ的导数 会是负的r sin θ j部分的偏导数，相对于θ 是r cos θ k部分，或者说z部分的偏导数 相对于θ， 会是负的r cos θ 对吧？ 看上去是正确的 sin θ的导数是cos θ 对 所以是负的r cos θ 现在，我们计算这里1行列式 i部分是 忽略这行和这列 我们得到sin 乘以负的r cos θ 我们换个颜色 所以，得到负的r， 我换个紫色 我们得到负的r cos θ，sin θ减去 这里会是个负数 当你减去一个负数，就变成正的 所以会是加上r cos θ sin θ 抵消会让我们计算容易一些 这个加这个是0 负的这个加上正的这个 所以它们抵消成0了 我们就没有了i部分了 现在我们来计算j部分 记住，我们按照方格模式来计算 所以，这个会是负j 它是--忽略这行，这列- cos θ 乘以负r 负 r cos θ 的平方 我把这两个乘起来 然后，减去这个乘这个 所以，是这个乘以这个，负号抵消掉了 我们得到r sin θ 的平方 所以，这个是负的--我来检查一下 对，减去这两个的乘积 乘积为正 得到的是r sin θ 的平方 这个部分很困难 很容易犯错 这个看起来可以简化 但是我们稍微等一下 实际上，我刚刚把 负号分配出去了 如果我把负号分配出去 它们就都是正的了 可以帮我们简化一些 现在我们来处理k部分 k部分，我用紫色 嗯，用蓝色吧 k部分 忽略这行，这列 加上k乘以cos θ，乘以r cos θ 是r cos θ 的平方 然后从这里，减去负的 r sin θ 乘以sin θ 就是负的r sin θ 平方 但是我们是减去它 所以，它是加上r sin θ 的平方 这个看上去可以简化 这里这部分 我们可以提取出来，我重写一下 这个可以改写成 r 乘以cos θ 平方 加上sin θ 平方 基本的三角函数定理 这个等于1 所以就剩下了r 乘以j 这里，同样方式可以简化 这个是r 乘以cos θ 平方加上sin θ 平方 这个部分就等于1 所以它简化为r 乘以k 这整个叉积，--所有这里的这些 --简化为，我们很幸运 简化为r乘以j单位向量 加上r 乘以k单位向量 然后，现在，我们可以把表面积分写出来 我们原先的表面积分 可以写成双重积分 或者，我们想交换积分的顺序 但是我们稍后再这么处理 双重积分 现在，需要放到我们的参数定义域中， 或者说，r theta的定义域中 它是，我们仍然有f的曲线，双重积分 我们要计算f曲线 我写下 “向量场f的曲线” 点乘 这个部分， rj 加上rk 然后，我们有两个参数 然后我们想交换顺序 也许，我们可以写d θ dr 然后如果按照这个顺序做， θ 由0到2π，r由0到1 但是如果我们把这两个交换， 显然，这两个也得交换顺序 我们先到这里结束 下个视频，我们计算f曲线 也许在下个视频，如果我们有时间， 我们把它计算完