斯托克斯示例第 4 部分

-我们快解完这个题目了 我们只需要计算旋度f 然后这个点积 然后是计算这个双重积分 我们来计算旋度f 旋度f等于 我得记住它是行列式 我们有i，j，k部分 你可以想象， 是del运算符与实际向量交叉 所以，这个del运算符， 我换不同颜色写 这个是对x的偏导数， 对y的偏导数，对z的偏导数 然后，我们的向量域 我抄下到这里 它等于负的y平方，是我们的i部分 x是我们的j部分，z的平方是我们的k部分 所以，这个会等于 它等于i 等于i乘以 Z的平方对y的偏导数 Z的平方相对于y来说 就是一个常量，所以，Z的平方 相对y的偏导数，就是0 所以这里是0 减去x相对z的偏导数 再次，当针对z来求导数时， 这个是常数 这个会是0 所以，这个就很好的简化 然后，我们会得到负j 我们需要方格模型来计算 在j的前面放一个负号 减去j，所以，我们有x的偏导数 Z的平方相对x的偏导数 再次得到0，然后减去 负y的平方相对z的偏导数 再次得到0，然后，最后， k的部分，k，所以，加上k 和k，我们有x相对于x的偏导数 它会实际上给我们一个值， 也就是1减去 负y平方相对y的偏导数 所以，负y的平方相对y的偏导数 是负的2y，我们减去这个 所以，它会是加上，加上 2y 所以，旋度f简化为 所有这些都是0 剩下的是1加上2y乘以k，或者k乘以1加上2y 所以，如果我们回到这里 如果我们这个部分， 我们得到的，让我把积分改写一下，0到1 然后这个是我们的r，我们的r参数是， 从0到1，θ 是从0到2 π 现在旋度f简化为 我不会跳过步骤，尽管那样做很有诱惑力 它是1加上2y，然后不用写2y 让我用参数写出来 我们在这里看到了，y是等于r sin θ 如果我记得不错的话，y是r sin θ 让我把y写成这样 2乘以r sin θ k 我们要将它点乘 我们把它和这里点乘 r乘以j 加上r乘以k，d θ，dr 我们进行点乘 这个只有k部分 j部分是0，所以，当你进行点乘 j部分得到的是0， 它们两个都实际上都没有i部分 所以里面会简化到 这里这个部分，它简化为 我们要想下k部分 因为其他的都是0 所以这个会是r乘以这个，就这样 它会是r加上2 r sin θ的平方，d θ，dr 然后，再次，θ是从0到2π， r是从0到1 现在，这个只是一个直接的双重积分 我们要计算这个 所以，我们对θ求不定积分 所以，对θ求 不定积分会给我们， 这个会给我们 我们先集中处理θ 所以，r相对于θ的不定积分 就是r θ，你可以将r视为常数 然后这个的不定积分 sin θ的不定积分是负的cos θ 所以这个就是负的2r cos θ 的平方 我们要将它由0到2π计算积分 然后，我们算外面的积分 我换个颜色成黄色 我们要对r来积分 r由0到1 但是这里里面，如果我们把这里所有这些 在2π处计算，我们得到 2π r， 2π r，在这里 减去 cos 2π，就是1 所以，是负的2r平方，然后从这里 我们减掉这个 我们要剪掉这个部分在0处的值 r乘以0得到0 然后cos 0得到1 就是减去2 r平方 或者是负的2 r平方 负 2 r平方 这个是负号，这里也是负号 得到了正号，但是，还有 负2 r平方，加上2 r 平方 它们就抵消掉了 这个和这个抵消掉 这里整个部分简化后 变成了一个简单的定积分，从0到2π 2π r dr，这个的不定积分 会得到π r的平方 所以，我们要将π r平方从0 到1来计算，当我们在1处计算时候 得到的是pi，当我们在0处计算时候，得到0 所以，得到π减去0 也就是，大家要准备鼓掌了， 因为我们我们用很多视频做了很久 这个等于π，提醒下我们自己， 我们上几个视频做的， 我们有这个线积分要计算 不用直接去计算线积分，我们当然可以这么做， 我鼓励你做一下 如果有时间的话，我会在下个视频做 不需要直接计算线积分， 我们使用斯托克斯定理 我们实际上可以说，这个等同于 在一个分段光滑的边界上，在分段光滑的表面的 表面积分，其中， 这个路径是边界 我们计算这个表面积分，最后 通过一系列的计算，得到的 结果是的呢关于π