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视频字幕

假设说我们在三维里面 进行运算 我有一个函数ρ 它是(x,y,z)的函数 它给出了在三维空间中 任何一个点 某种液体的密度 一种特殊的液体 或者是气体,液体 水啦等等 某种物质 它给出了密度 三维中任何一个点上的密度 我们假设说,有另外一个函数 这个是标量函数 它只是给出了一个数 在3D空间中任何一个点上的数 然后,我们假设有另外一个函数v 它是一个向量函数 它给出了在三维空间中 任何一个点上的向量 这里的这个部分告诉我们 这个液体的速度 同样这个液体或者其他啥 它的速度 现在,我们想象,另外一个函数 看上去有些眼熟,因为我们做过 我们做过非常类似的练习 当我们在二维空间谈到线积分的时候做过类似的 现在,我们将它延展到三维空间 我们说,我们有个函数f 假定我们有一个函数f, 它等于 ρ和v 二者的乘积 所以,对于任何一个点(x,y,z) 它会给出一个向量,然后 将它乘以三维空间中同样 这个点对应的标量 所以它等于 ρ乘以v 我用同样的颜色 v以前曾经使用的颜色 有一些方式来概念化这个问题 你可以把这个看作 显然,它保持着速度的方向, 但是现在,它是一个数量 一种思考的方式是 把它视为动量密度 如果不太容易想的话, 其实也不用太担心 希望当我们使用这两个函数, 当我们运算的时候,多想一下 多将它同曲面关联起来 这样在概念上更有意义 现在,我想作的是 考虑一下它意味着什么 它意味着什么 给出函数f, 在某些曲面上 求解曲面积分 所以,我们将在某些曲面上进行计算 我们将计算f 我们计算f.n 其中n是这个曲面上每个点 所对应的单位法向量 ds d曲面 我们看一下它说了什么 首先,我画一下坐标轴 这个是z轴 z轴 这个可以是 我们把它定义成 把它定义为我的x轴 我们说,这里这个 是我的y轴 我们假设我们的曲面 我用同样的颜色 我的曲面看上去像这样 所以,这个是我的曲面 这个是我们题目中的曲面 它是S 现在我们考虑一下单元 希望概念上你们能够理解 这里的这个部分意味着什么 它是纯粹的类比 相当于我们在二维空间中 对线积分所做的那样 我们有ds ds是一小块区间 位于该曲面的小区间 所以,这个是ds 这个是一个小的区域 如果我们想 这个 我们要选特殊的单元 它可以是方形的 这个可以是平方米 我想当我们处理 这个特殊的单元的时候, 它更有意义 现在,ds上的 法向量 这个法向量 会从这里伸出来 它垂直于这个平面 它垂直于这个平面 它的大小为1 所以是我们的单位法向量 f在整个三维空间都有定义 对于任何一个(x,y,z) 我知道它的密度 我知道它的速度 我会有f 在任何一个点上都会得到f 在三维空间上的任何一个点上 包含这个曲面 包括这里 所以这里,f看上去 f看上去像这样 这个是这个点上的f 位于这个点上 所有这些意味着什么? 当你取这两个向量的点积的时候 它基本上是在说 “它们在一起的时候是多少?" 因为n是单元向量 它的大小为1 基本上它就意味着 大小 大小是多少? 在n的方向上, f的分量的大小是多少 或者说,这个部分 或者“在沿着曲面法线方向 f的分量,它的 大小是多少?" 或者"多少的f分量是垂直于 这个曲面的?" 所以,垂直于曲面的 f的分量 会是像这样 看上去像这样 像这样 就是如同这个样子 这里这个 基本上给出了 它的大小 它会是 它会是保留f.n的单位大小 在这里,指定了一个方向 没有单位是和它关联的 它是无量纲的 f的单位会是 密度的单位 它可以是 它会是 我们说,它可以是 千克每立方米 这个 这个是ρ部分 所以,它是密度乘以速度 乘以米每秒 我用这个颜色写 这样会 比较清楚一些 所以,f的单位 会是ρ的单位 也就是 千克每立方米 它是密度 乘以v的单位 也就是米每秒 米每秒 我们将这个乘以平方米 所以,你会得到 你得到的是米 然后,米的平方在分母上 分母上得到的是立方米 分母上是立方米 这个,这个,这个抵消了 所以,我们得到的单位是 我们这里得到的单位 是千克每秒 所以,概念上理解它的方式 介于我们定义了f f代表着 概念上理解的方式是 这个等于是说”多重“ ”给定这个密度,给定这个速度, 在指定的时间内 多少质量直接 作用在这个小的ds上 这个小的 无限小的一块表面上?" 然后如果加起来 所有这些ds 就基本上得到了曲面积分 我们基本上是在说 “以千克每秒来表示 多少质量, 是我们选出了的, 在任何给定的时间 多少质量在 穿过这个曲面 这个其实和我们所作的线积分 是一回事 基本上就是一个流体 穿过二维曲面,就是这样 流体穿过二维的曲面 这个不是 疯狂的抽象的东西 我的意思是说,你还是可以想象它的 你懂的,你可以想象出来 比如像浴室的蒸汽 浴室里面的水汽 我喜欢这么想象 因为它实际上可见 尤其是有光线照耀到水汽上的时候 我们都看过水汽 在我们的浴室里面 当你有一束光的时候, 水汽的样子 水汽颗粒 是如何的翻腾 你可以看到,它有一定的密度 不同点密度不同 你可以想象 你可以想象出来 你关注曲面 你的曲面 也许你有一个窗 也许你浴室里面有扇窗 所以,你有一扇窗 所以,如果你准备 如果这个曲面就是这个窗户 比如说,这个 窗户是开着的 它是某种 这里没有物理内容 只是一个 长方形的曲面 可以自由地穿过去 如果,f是 水汽的密度,乘以 水汽的速度 然后这里这个就告诉我们 在给定的时间, 穿过窗户的水汽的质量 另外的思考的方式是 想象 想象一条河 我们想象这条河 是某种 它只是河的一个部分 我想象它 是某条 河流 显然,这个是曲面 我们平常看到的 但是显然,它有一定深度 它本质上是三维的 所以,我们会知道密度 也许是常量 你知道任何点上的 密度和速度 这些f会给出来 所以它告诉了我们 我们说过,我们可以将之视为 在任何给定的时间的动量密度 也许我们的曲面像一个网 我们的曲面是某种网 网都甚至不需要是长方形的 它可以是奇怪的形状的网 但是我还是按长方形来处理 因为比较容易画 它是某种网, 但是不会阻碍流体 再次, 当你计算积分的时候 它告诉了你,在任何给定的时间 流过这个网的的 流体的质量 希望这样讲 能够让你有一些清楚的概念理解 在下面几个视频 我们会考虑 如何来 实际计算它 以及用不同的方式 来表现它