## 构造一个单位法向量

现在，希望我们对像这样的表曲面积分代表什么 已经有概念上的理解了 我想考虑一下如何实际创建 一个单位向量 在表面的任何一个点上的单位法向量 为了做出来，我假设 这个表面是可以被参数化的 通过位置向量函数，r来参数化 r是含有两个参数的函数 它是u和v的函数 给出一个u和v 它基本上就指定了 这里的这个二维平面上的一个点 它可以是弯曲的，所以，它可以某种形式上存在于三维空间中 但是一个u和v的值会确定出这个平面的特定的点 现在，我们考虑一下r的方向 r的偏导数 r相对于u的偏导数看上去像 这样 r的偏导数的方向 r相对于v的偏导数看上去像 所以，假设我们位于 我们位于某个点上 我们在点(u,v) 对于某个点(u,v)，如果你知道它的位置矢量 它会引导我们到这里这个平面上的这个点 现在假设说，我们把u增加一点点 当我们把u增加一点点 我们得到了平面上的另外一个点 比如说，是平面上的这个点 这里 那么，r会如何 r_u向量看上去是什么样子？ 它的大小会是 取决于这样的变化多快发生 我们多快移动到这个点 但是它的方向会是在这个方向 会是朝向这个点 它会是沿着这个曲面 我们从表面的一个点移动到另外一个点 基本上，它在这个点上垂直于平面 我可以画大一些 它看上去像是这样 r下标u 所以我把这里放大了一些 我们回到这个点 现在我把v弄大一些 如果我们把v弄大一些 我们移动到这里这个点 然后我们的位置向量，r，会指向这个点 那么r_v看上去什么样子？ 它的大小，再次说明，取决于 我们多快到这里，但是方向是我们关注的问题 这个方向同样是和平面相切的 当v变化时，我们从平面上的一个点 移动到另外一个点 所以，r下标v应该看上去像这样 它们不一定要 这两个不一定要彼此垂直 实际上，我画的方式中，它们互相不垂直 所以，r下标v像这样，但是它们都和平面相切 它们两个基本上告诉我们，在这个点， 切线是什么？ 在u方向，或者v方向 斜率是多少？ 现在，这个 当你有两个 当你有两个向量 它们都和平面相切 它们不是同一个向量， 它们，我们已经说明了 它们确定了一个平面 所以你可以想象一个平面像这样 如果你取这两个的线性组合 你会得到一个平面，这两个向量位于这个平面上 现在，我们以前已经做过，但是我再做一次 当我取叉乘的时候， r下标u和r下标v发生了什么？ 当我求叉乘时，会发生什么？ 首先，它会给出另外一个向量 它会得到一个向量 这个向量垂直于 r下标u和r下标v 另外一种思考的方式是 这个平面， 当你取叉乘 这个平面，最后会是 这个表面的切平面 如果某向量或者平面 和这两个都垂直 它应该位于这些的法线方向 或者，它一定和这两个 都垂直，但是它要位于 这个平面的法线方向 也就是说，它会是 垂直于这个平面自身 所以，这里 是个法线向量 这个，我写下来 我这么写 这个法线向量 我不是说单位法线... 不是法线向量， 因为你可以有不同的法线向量 它们的大小不同 这个是法线向量，当你取叉乘 我们甚至可以考虑它指向的方向 当你把一个和另外一个叉乘 我知道的最容易的做法是 你伸出左手大拇指 对不起，应该是右手大拇指 它指向第一个向量的方向 在本例中是，r_u 我们看下是否可以 是否可以画出来 我得看下我的右手才能画出来 把右手大拇指... 所以这里是右手规则 基本上，在第一个向量的方向上， 然后把食指指向 第二个向量的方向 这里 这个是第二个向量 这个是我食指的方向 食指指向 像这样 然后你弯曲 把中指向内弯曲， 这个就告诉了我们叉乘的方向 所以我向内弯曲中指 它看上去 它看上去像是这样 然后，当然，我的另外两个指头 也向内卷进去，但是它们无关我们的问题 但是我的另外两个指头和手是这样的 这个就告诉我们了方向 方向方向会是像这样 会是向上的 这个很重要，因为我们有法线向量 有一个 或者两个法线方向，也许你可以这么说 一个像这样出来 向外 或者说 向上 一个向下 或者说，向内进入平面 但是，现在我这么设定 它就会是向外 它会是... 它会是这个平面的 一个法线向量 现在，为了从一个法线向量 移动到单位法线向量 我们只需要归一化它 我们只要把它除以 它自己的大小 现在，我们快做完了 单位向量 它基本上是 它会是u的函数 它会是 一个u和v的函数 给出一个u和v 会得到 一个单位法线向量 它等于是 r相对于u的 偏导数 叉乘 r相对于v的偏导数 它只是 现在，这给出了法线向量 但是它还没有归一化 所以我们要把它 除以大小 我们要把它除以 同样的向量的大小 r下标u叉乘r下标v 我们做完了 我们构建了一个单位法线向量 在未来的视频中，我们用实例来求解