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课程: 多变量微积分 > 单元 4

课程 6: 双积分 (文章)

非矩形区域上的二重积分

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二重积分棘手的是在非矩形区域中找到边界。在这里, 我们要详细解释这个问题, 并举几个例子。

背景知识

二重积分

我们要做什么

如果你希望在不是矩形的 $x y$ ‍ 平面上的区域来求积分，你必须用关于外部变量的函数来表达内部积分的上下限。
$\begin{array}{r} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \overset{对 y 求值}{\overset{⏞}{(\int_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)} f (x, y) d x)}} d y \end{array}$ ‍

或者反过来，

$\begin{array}{r} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \overset{对 x 求值}{\overset{⏞}{(\int_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)} f (x, y) d y)}} d x \end{array}$ ‍

非矩形区域的问题

思考这个函数

$f (x, y) = x y^{2}$ ‍

它的图表如下所示：

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我们将求出这个图表下的体积。不像上一篇文章，这个体积将不会位于

x y

的矩形平面上。反之，我们将看到一个底为三角形的体积。这个三角形详细为下图：

这是一个直角等腰三角形，它其中的一个腰在

x

轴上连接点

(0, 0)

和

(2, 0)

，另一个腰连接点

(2, 0)

和

(2, 2)

。在这个三角形上面并在

f (x, y) = x y^{2}

的图表下面的体积如下所示：

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这与我在上一篇文章中提出的问题类似，后者引入了二重积分。事实上, 求解的方法也是相似的。

用积分求面积切片的公式。
使用第二个积分来将那些无限多的面积切片加到体积中。

变得棘手的是界限。例如，思考这个表示

x

值的体积的切片。下面的动画展示了这些切片的外观，由常数

x

值在

0

和

2

之间来回变动。

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这些切片的其中一个的高基于

f (x, y) = x y^{2}

在它的底上面的高。但是切片的底长也会改变。例如，当

x = 0.5

, 底的

y

值可以从

0

到

0.5

变化。

相反地，当

x = 1.5

y

值从

0

到

1.5

变动：

这意味着当我们设一个积分来求这些常数

x

值切片的面积时，上限根据 $x$ ‍ 来写。

$\begin{array}{r} \int_{0}^{x} f (x, y) d y = \int_{0}^{x} x y^{2} d y \end{array}$ ‍

就我们要求的而言，将其中一个界限根据

x

来写是完全可以的。终究，我们总会得到一个根据

x

写的表达式。你可以自己来求这个积分：

$\begin{array}{r} \int_{0}^{x} x y^{2} d y = \end{array}$ ‍

从这里开始，就没有新知识了。将这个值乘以

d x

来给它一些宽，从而将它变成一个无限小的体积。然后当我们将它关于

x

求积分时，界限为常数，

x = 0

和

x = 2

，因为这是我们三角形在

x

轴上的底的位置。

$\begin{aligned} \int_{0}^{2} \frac{x^{4}}{3} d x & = {(\frac{x^{5}}{(5) (3)})}_{0}^{2} \\ = \frac{2^{5}}{15} - \frac{0^{5}}{15} \\ = \frac{32}{15} \end{aligned}$ ‍

所以总体积为

\frac{32}{15} \approx 2.13

圆盘积分

现在让我们试一些难一点的题：求以圆盘为边界的图表为下面的体积。这个在

x y

平面上的圆盘是所有的

(x, y)

点所以

x^{2} + y^{2} \leq 1

例如，图表下方的体积。

f (x, y) = 3 + y - x^{2}

由圆盘界定如下所示：

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再次思考这个体积关于常数

x

值的切片。

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想想这些切片的底部在

x y

平面上是什么样的。每个切片对应于圆盘中的一些垂直条形。

用勾股定理，我们可以用这个条形关于

x

值的函数来求出决定这个条形的顶部和底部的

y

值。

我们现在可以通过求

f (x, y)

关于

y

的积分来求出其中一个有着常数

x

值的切片面积。

概念检查: 以下哪种积分表示了我们求的体积的常数

x

值切片面积？

求出它：这是一个比以前的示例更繁琐的计算，但如果你能胜任它，求这个积分来得到有着常数

x

值的切片面积，关于

x

的函数。

常量

x

切片面积：

在圆盘中

x

值从

x = - 1

到

x = 1

变动，所以要求出体积，求你刚刚找出的在

- 1

和

1

中关于

x

的表达式的积分。和以前一样，你可以想象这是将很多很多像纸一样薄的体积加起来。

这是一个棘手的积分，但是为了实用主义的缘故，我们可以用任何老的计算机代数系统或数值积分工具来求解，比如Wolfram Alpha.

总体积: $\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} (6 - 2 x^{2}) \sqrt{1 - x^{2}} d x = \frac{11 π}{4} \approx 8.6394 \end{array}$ ‍

另一种切片方式：鱼翅区域

有时考虑将你的区域沿着

x y

平面的水平条形切的常量

y

切片更容易一些。例如，思考满足以下属性的

x y

平面区域：

$x \geq y^{2}$ ‍
$x \leq y + 2$ ‍
$y \geq 0$ ‍

这个区域看起来像鲨鱼的背鳍：

该区域的右上角是曲线

x = y^{2}

和直线

x = y + 2

相交的地方。这个点是

(4, 2)

。

让我们求出以此区域为足迹的实体的体积，其高度由一个相对简单的多变量函数决定：

f (x, y) = x + 2 y

体积如下所示：

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这一次，想象切割这个体积的常量

y

切片。这将给出我们的鱼翅区域在水平条形之上的面积，如下面的红色图片：

概念检查：如果这些水平条形的其中一个对应一个

y

值，条形上的

x

值界限为多少？也就是说，这条关于

y

的函数的直线的左右端点的

x

坐标是什么？

下限： $x =$ ‍
上限： $x =$ ‍

概念检查：下面哪个积分表示了这些条形上方的切片面积，在关于

y

的函数的图表

f (x, y) = x + 2 y

之下？

选出正确答案：
(选择 A)
$\begin{array}{r} \int_{y^{2}}^{y + 2} (x + 2 y) d x \end{array}$ ‍
(选择 B)
$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} (x + 2 y) d y \end{array}$ ‍

概念检查：求这个积分来找出我们的体积的常量

y

切片的面积。

常量 $y$ ‍ 切片面积：

概念检查：当我们求这个关于

y

的函数的积分来得到总体积时，我们应该使用什么上下限？

选出正确答案：
(选择 A)
$\begin{array}{r} \int_{0}^{4} \dots d y \end{array}$ ‍
(选择 B)
$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} \dots d y \end{array}$ ‍

回到初心：求这个积分来找出在这一节的开始定义的区域的体积。（可用计算器）。

体积：

总结

当你需要求一个在非矩形区域的二重积分时，遵循以下步骤。

首先将你的区域沿着对应这其中一个变量不变的切片来切割。例如，将 $x$ ‍ 设为一些常数将给你你的区域的垂直条形。
找出用其他变量的函数来表达这些条形界限的方法。例如，一个垂直条形的上限和下限可以表达为某些关于 $x$ ‍ 的函数。
当你设你的二重积分时，内部积分将对应其中一个条形的积分，并且每个界限将为一个关于外部变量的函数。如果内部积分对应常量 $x$ ‍，整个二重积分可能看起来是这样的：
$\begin{array}{r} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \overset{对 x 求值}{\overset{⏞}{(\int_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)} f (x, y) d y)}} d x \end{array}$ ‍

相反地，如果你从水平常量

y

切片开始，二重积分可能看起来是这样的：

\begin{array}{r} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \overset{对 y 求值}{\overset{⏞}{(\int_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)} f (x, y) d x)}} d y \end{array}

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