双积分2

希望现在你对双重积分，或者 如何求一个曲面下的体积 有了一些概念 让我们来做一个计算，这样 记得会更牢一些 假设说我这里有一个曲面，z 它是x和y的函数 它等于xy的平方 它位于三维空间之中 我们想知道它和x，y轴围出来的 空间的体积 我所关注的xy平面内的区间是 x大于或等于0，小于等于2 y大于或等于0， 小于或等于1 我们看看它是什么样子 这样我们可以更直观地了解 我把它画在这里，我们可以旋转一下 这个是z等于xy的平方 这个是限定的空间区域，对吗？ x从0到2，y从0到1 我们要求解的是，-你几乎可以把它视为体积 诶，不完全是 把它视为这个曲面以下的体积 介于这个曲面，也就是上表面，和xy平面之间 我把它旋转一下，这样你会 更清楚实际的体积的样子 我转一下 我用鼠标来操作 这个空间，在这里 看上去像一个临时搭建的遮蔽的帆布顶，或者类似的 我可以再转一下 在这两个表面之间的，无论是什么， 我们要求解它的体积 哎呀，我把它反转了 好，顺过来了 这个是我们所关注的体积 我们来看看如何做， 做的过程中我们要用到一些直观的思考 我现在画一个不那么精确的版本， 虽然不完美，但是对我们分析很有帮助 我画出坐标轴 x轴，y轴，z轴 x,y,z x从0到2 这里是2 y从0到1 我们要求取在xy平面上 位于这个四边形上面的体积 然后这个曲面，我尽量画 我换个颜色画 在这个图形上 在这端，它看上去像这样 然后这里有条直线 我们看看，曲面是否可以像这样向下画出来 然后，如果我画的好的话，可以用阴影来表现 看上去是这个样子 如果我画上阴影，表面看上去 会是像这样 这里，这个部分是在它上面的 这个是底部的左边的角，你可以看到它 我们假设说黄色的在曲面的上面 它是曲面的上面 然后这个在曲面的下面 我们关注的是这里的体积 我向你展示一下实际的曲面 这下面的体积 我想你明白了这个示意 然后，我们如何求解？ 在上个例子里面，我们说， 我们选择任意一个y，求出 这个曲线下面的面积 所以如果我们固定一些y，当你实际处理这些习题时， 你不用这么繁琐的想每一个细节，但是 我想告诉你思路 如果我们在这里选择一个任意的y 在这个y处，我们可以这么考虑-如果我们有一个固定的y 然后x和y的函数，你可以将它视为 针对那个特定y的变量只有x的一个函数 所以，我们可以求出它的值， 也就是曲线以下部分的面积 你可以将它视为相对于一个给定的y所得到的上下曲线 如果我们知道一个y，我们可以求出-例如 如果y等于5，那么函数就是z等于25x 然后，就容易求出 曲线下面的面积 我们把曲线下面的这个值，定义为一个y的函数 我们假装它是一个常量 我们来做看看 如果我们有一个dx，也就是x的变量 然后，每个四边形的高，它会是一个函数 它应该等于是z 高是z，也就是x和y的函数 然后我们求积分 所以，每一部分的面积，就是我们的函数， xy的平方-我在这里做，因为快没空间了 xy平方乘以宽，也就是dx 如果我们要相对给定的y，求这个切片的面积 我们只需沿着x轴积分 我们将它从x等于0 到x等于2来积分 从x等于0到等于2 就是这样 但是现在，我们不是要求对于某个特定的y， 曲线下面的某个切片的面积，我们要求解 整个曲线的面积 所以，我们这么做， 这个曲线下面的区域，而不是这个曲面，-- 在这个曲线上，对于特定的y，它的表达式是这个 如果我给它一定的深度 如果我把这个区域乘以dy，它就可以给我 一点点深度，对吧？ 我们得到我们所关注的体积中的 类似三维的切片 我知道这个有些难想象 我把它放这里 如果我这里有了一个切片， 我们可以求出切片的面积，然后把它乘以dy， 这样就会产生一点深度 通过乘以dy来产生一些深度 然后，如果你想求整个曲面下面的体积，我们把 所有的这些dy加一起，求这些 现在是无穷小的体积的无穷和 所以，我们要将它从y等于0 积分到y等于1 我知道这个图形有些难以想象， 然而，你可以参考第一个视频 那里的曲面比较容易理解 好，现在，我们如何计算 如同我们说过的， 从里面向外面来计算 它要反向取偏导数 所以，我们这里对x求积分， 将y视为常量 就像是一个数字5一样，或者类似的 它不会改变积分 那么，xy平方的不定积分是什么？ xy的平方的不定积分- 我用同样的颜色 x的不定积分是 x的平方除以二 然后y平方只是一个常数，对吧？ 然后，我们不用担心加c的问题， 因为它是一个定积分 我们的积分是从0到2的 然后，我们仍然有外面的积分， 对y的积分 再次，我们的积分是对dy， 从y等于0到y等于1， 现在如何计算？ 我们把2放这里 如果把2放这里，我们得到2的平方除以2 也就是4除以2 得到2y的平方 减去0的平方除以2乘以y平方 得到的是0 所以减去0 我没这么写，是因为希望 你未来能够自动这么思考 我们计算了在2这个端点它的值 空间有点不够用 算出的结果是2y的平方，然后我们算 外面的这个积分 0，1，dy 这里有一个重要的问题要记住 当我们计算里面的积分时候， 要记住我们是对那个变量来做计算？ 我们是对于一个给定的y，求取 这个曲面的面积 而不是这个表曲面，位于某给定的y的 曲面下面的面积 对于一个给定的y，这个曲面就变成了一个曲线 我们要计算曲线下面的面积， 用传统的方法来计算 这样得到了一个y的函数 这样做是合理的，因为根据选择的y不同 我们会得到不同的面积 显然，取决于选择了那个y，这个面积-- 像垂帘一样，这个面积会变化 所以我们计算后会得到了一个y的函数 现在，我们要将它对y来积分， 这就回到传统的定积分的问题 2y的平方的不定积分是什么？ 它等于2乘以y的3次方再除以3，或者说， 2/3乘以y的三次方 我们待计算的区间是0到1 也就是，我们算一下 1的3次方乘以2/3 得到2/3 减去0的3次方乘以2/3 就是0 所以得到2/3 如果单位是米的话，答案就是2/3立方米 或者米的立方 不管哪种 这个就是如何计算双重积分 它其实不算是新技巧 你只是需要注意哪个是变量 某些时候将它们视为常数 然后到对相应的步骤时候 再将它们在视为积分的变量 好吧，本视频讲解完毕，我们下个视频见