双积分3

上个视频中，我们求解了一个体积问题， 在x从0到2，y从0到1之间的区间内， 介于曲面xy平方和xy平面之间的体积 我们计算的方式是， 我们先对x来积分 我们说过，选择一个y，然后计算 曲线下面的面积 所以，我们是先对x积分， 然后我们再对y积分 但是我们可以用另外的顺序来做 我们做一下，来确保得到的是正确答案 我们擦去一些部分腾些空间 记住，当我们先对x积分，再对y 积分时，我们的答案是2/3 但是，我要给你演示另外的积分顺序 如果两种不同方式得到同样的 答案，那就非常棒 让我再画一下那个图， 因为我想直观地表现它 这个是x轴，y轴，z轴 x,y,z 这个是xy平面 这里 y是从0到1，x是从0到2， 这里是x等于1 这个是x等于2，这个是y等于1，然后图形 我尽量画好看一些 对比强一些 这个图形看上去像这样 我看下如何画 在这一侧，它看上去像这样， 然后向下，这样 然后，我们关注的体积 它实际上是在这个图形下面的部分的体积 这个是这面的表面的顶部 我们关注的是这个表面下的体积 然后，当我们画这个表面的底部时 我换一个暗一点的颜色--看上去像这样 这个是表面下面的底 我可以涂一些阴影来突显它 表示它是在下面的 希望这个图形还算清楚 我们回顾一下以前 它像是一页纸，在这个点翻上去 我们关注这个体积，这里 标上颜色的部分 我们看一下如何计算 上次我们先对x积分 这次我们先从y开始 我们把x视为常量 如果我们将x视为常量，那么，我们可以做到是， 对于某个x，--我们选一个x 如果我们选定一个x，我们选这里的x 然后，我们可以做的是，对于指定的x， 你可以把它视为x和y的函数 如果x是常量，比如说，如果x等于1，那么 z就等于y的平方 那么就很容易算下面的部分，因为 这个x不是常量，但是我们可以视之为常量 比如对于任意一个给定的x， 我们可以有一个这样的弧线 我们可以做的，是我们可以先 计算出这个曲线部分的面积 所以我们该如何做？ 我们说，我们可以把这里这个函数视为 z等于xy的平方，因为 这个函数就是这样的 但是，我们将把x定为常量 我们视之为常量 为了算这个部分的面积，我们取一个dy y的变化量，乘以高，也就是xy的平方 所以，将xy的平方，乘以dy，然后如果要计算 这个区域的面积，我们把它从y等于0 到y等于1来积分 就这样 再次，我们有了这个区域，如果要求整个这个表面 以下的体积，我们可以将这个面积 乘以dx，以将深度计算进去 我换个好看些的颜色，这个是绿色 这个是dx 如果我们将这个乘以dx，我们就会把深度计算入内 我换个深点的颜色， 好对比一下 现在我们有了这个的体积，你可以视之为 这个曲线下的面积，乘以dx 考虑它的深度，乘以dx 如果我们要算这个表面下整个的体积 --介于这个表面和xy平面之间， 在限定区域之内-- 我们只要将x从0到2积分 好，我们想一下 这里这个绿色区域，我们开始的地方 它是一个x的函数 我们将x视为常量，但是取决于选取的不同的x 这个区域会变化 所以，当我们对y来计算这个红色的里面的积分的时候 我们会得到一个x的函数 然后当我们计算整个的时候， 我们就会得到体积 我们来做一下 我们先算里面这个积分 将x视为常量 y的平方的积分是什么？ 它是y的三次方除以3 这个x是常量，对吧？ 我们将它从1到0来计算 外面的积分仍然是对x，dx的积分 它等于-我看下 当y等于1，得到1的三次方， 就是1 所以是x/3减去，当y等于0时， 这个部分等于0 紫色的表达式就变成了x/3 然后，我们仍然有外面的积分 从0到2，dx 由此，基于不同的x，这个绿色的表面-- 我们开始的地方- 对于任何一个给定的x，这个区域- 我希望它对比清楚一些 根据不同的x，这个区域是x/3， 如果x是1，这里这块就是1/3 但是现在，我们要在整个这个表面下面积分 来计算我们的体积 如同我说的，当你积分的时候 它是x的函数 我们就这么做 这个是比较简单的，常规的积分 x的积分是多少？ 是x的平方除以2 我们这里有个1/3，所以它等于x的平方 除以2，乘以3 是x平方除以6 我们将它从2计算到0 2的平方除以6是4/6 减去0/6，也就是0 得到4/6 4/6是多少？ 它等于是2/3 所以，这个表面下面的体积是2/3， 如果你看前一个视频，你会发现 我们换个顺序积分的话， 如果我们先对x积分，在对y积分， 我们得到同样的答案，和谐 我这个视频 还有一些时间剩下 多说一下，我们可以选择一下图形 就会发现，我们计算出了这个曲面， xy的平方，夹在xy平面之间的部分的体积 非常干净利落 好，解答结束