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主要内容

3D 中的流量示例

在学习什么是三维中的流量后,在这里你有机会用一个示例来练习。

步骤

上一篇文章提到了流动流体通过表面的 通量 是衡量单位时间中通过该表面的流体量。 如果该流体流用向量场 F(x,y,z) 表示,并且 S 表示曲面本身,则可以用以下曲面积分计算通量:
SFn^dΣ
向量值函数 n^(x,y,z) 给出了 S 的单位法向量。对于闭合曲面,通常选择面向外的单位法向量。
在实践中,解决这个积分需要很多步骤。
  • 步骤1:用 S 参数化的形式重写积分,就像任何曲面积分一样。
  • 步骤2:代入单位法向量 n^(x,y,z)。在计算单位法向量之前,最好先这样做,因为法向量的一部分可以和曲面积分的一项消掉。
  • 步骤3:简化积分内的项。
  • 步骤4:计算二重积分。

问题

考虑由以下方程定义的抛物面图:
z=4x2y2
S 是这个抛物面的一部分,它在 xy 平面以上
哇,这竟然还挺像一个核弹头。好吧,至少它清楚地表明了表面是什么样子。
对于通量积分,我们必须指定此曲面的方向。 这里用 面向外的法向量,也就是说向量 i^j^k^ 都是从抛物面以下的区域面向外的。
现在想象一下,在三维空间里有一种流体在流动。 假设它沿着函数定义的向量场流动
F(x,y,z)=[xyxzyz]
关键问题:这种流体通过表面 S 的通量是什么?

步骤1:使用参数化重写通量积分

现在,表面 S 由一个图像定义,z 受约束。
图像z=4x2y2
约束条件z0
但要计算曲面积分,我们需要将这个曲面参数化。 幸运的是,这种转换并不难。 让一个参数扮演 x 的角色,而另一个参数扮演 y 的角色:
v(t,s)=[ts4t2s2]
写出此函数后,仍需要指定 ts 平面的哪个区域与表面 S 相对应。 这需要将 z0 这个约束条件转换为 ts 上的约束。
概念检查ts 的约束条件是什么才能确保 v(t,s)z 分量等于或比 0 大?将答案写成不等式。

由于此区域是半径为 2 的圆盘(disk),因此将其命名为 D2
稍后,会将其完全扩展为 ts 的边界集,但当求积分的每个部分时,只用符号表示更有用。
将通量曲面积分写为参数空间中的二重积分,所得如下:
SFn^dΣ=D2平面参数空间的二重积分F(v(t,s))n^(v(t,s))|vt×vs|dAdΣ
如果不太熟悉这种参数空间中的二重积分,可以复习曲面积分曲面面积

步骤 2:代入单位法向量的表达式

上一篇文章提到了如何找到一个函数,该函数根据参数化的 v(t,s) 给出了表面的 单位法向量。 基本上是标准化了 v(t,s) 的偏导数的叉乘(这句话说起来真拗口):
vt×vs|vt×vs|
现在,你要是 热爱 计算偏导数向量的叉乘的大小,还得等一下。 把叉乘代入通量积分中,可以消掉大小这一项:
D2F(v(t,s))n^(v(t,s))|vt×vs|dA=D2F(v(t,s))(vt×vs|vt×vs|)|vt×vs|dA=D2F(v(t,s))(vt×vs|vt×vs|)|vt×vs|dA=D2F(v(t,s))(vt×vs)dA

步骤 3: 展开积分

首先计算叉乘开始:
vt×vs
作为参考,v(t,s) 定义如下:
v(t,s)=[ts4t2s2]
现在计算每个偏导数,然后找出其叉乘。
vt=
i^+
j^+
k^

vs=
i^+
j^+
k^

vt×vs=
i^+
j^+
k^

概念检查:刚才求出的 vt×vs 的表达式给出的法向量是向外还是向内?
选出正确答案:

然后,把 F(v(t,s))ts 表示。作为参考,Fv 定义如下:
F(x,y,z)=[xyxzyz]v(t,s)=[ts4t2s2]
F(v(t,s))=
i^+
j^+
k^

太棒了! 现在我们有了积分内部的所有部分。
D2F(v(t,s))(vt×vs)dA
通过计算前两个答案的点乘,只用参数 ts 表示此积分的内部。 尽可能简化你的答案,将有助于下一节中的积分计算。
D2
dA

步骤4:计算积分

到目前为止,我们在二重积分下面写了一个 D2 来表示 ts 平面中,要积分的区域是半径为 2 的圆盘。 现在,要计算积分本身时,需要写出参数 ts 的具体界限。
首先,画出 D2,并且想象把它剪成竖直的条:
t 的取值范围是从 22s 的值域取决于 t 的值,可以用勾股定理求出。
从图中可以看出,s 的值域是从 4t2+4t2。将这些边界代入二重积分,所得如下:
024t2+4t2s(2t2+(2t+1)(4t2s2))dsdt
然后,有几个方法可以完成这道题
  1. 痛苦地:手算出这个二重积分(啊!)。
  2. 务实地:用像 Wolfram Alpha 的计算软件来计算。
  3. 聪明地:认识到对于 s,被积函数是奇函数。 把 s 和每一项相乘,可以看到所有项都有 ss3。 这意味着内部积分从 4t20 的部分可以和从 04t2 的部分消掉。 因此,积分整体为 0

总结

通量积分一开始长这样:
SFn^dΣ
用以下四个步骤来解决问题:
  • 步骤 1:参数化曲面,并将此曲面积分转换为参数空间上的二重积分。
  • 步骤 2:代入单位法向量的公式。
  • 步骤 3:简化被积函数,它包含两个向量值的偏导数,一个叉乘和一个点乘。
  • 步骤 4:计算二重积分(实际上从这里就可以靠计算机了)。

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