主要内容
3D 中的流量示例
在学习什么是三维中的流量后,在这里你有机会用一个示例来练习。
步骤
上一篇文章提到了流动流体通过表面的 通量 是衡量单位时间中通过该表面的流体量。 如果该流体流用向量场 表示,并且 表示曲面本身,则可以用以下曲面积分计算通量:
向量值函数 给出了 的单位法向量。对于闭合曲面,通常选择面向外的单位法向量。
在实践中,解决这个积分需要很多步骤。
- 步骤1:用
参数化的形式重写积分,就像任何曲面积分一样。 - 步骤2:代入单位法向量
。在计算单位法向量之前,最好先这样做,因为法向量的一部分可以和曲面积分的一项消掉。 - 步骤3:简化积分内的项。
- 步骤4:计算二重积分。
问题
考虑由以下方程定义的抛物面图:
令 是这个抛物面的一部分,它在 平面以上:
哇,这竟然还挺像一个核弹头。好吧,至少它清楚地表明了表面是什么样子。
对于通量积分,我们必须指定此曲面的方向。 这里用 面向外的法向量,也就是说向量 、 和 都是从抛物面以下的区域面向外的。
现在想象一下,在三维空间里有一种流体在流动。 假设它沿着函数定义的向量场流动
关键问题:这种流体通过表面的通量是什么?
步骤1:使用参数化重写通量积分
现在,表面 由一个图像定义, 受约束。
图像:
约束条件:
但要计算曲面积分,我们需要将这个曲面参数化。 幸运的是,这种转换并不难。 让一个参数扮演 的角色,而另一个参数扮演 的角色:
写出此函数后,仍需要指定 平面的哪个区域与表面 相对应。 这需要将 这个约束条件转换为 和 上的约束。
概念检查: 和 的约束条件是什么才能确保 的 分量等于或比 大?将答案写成不等式。
由于此区域是半径为 的圆盘(disk),因此将其命名为 。
稍后,会将其完全扩展为 和 的边界集,但当求积分的每个部分时,只用符号表示更有用。
将通量曲面积分写为参数空间中的二重积分,所得如下:
步骤 2:代入单位法向量的表达式
现在,你要是 热爱 计算偏导数向量的叉乘的大小,还得等一下。 把叉乘代入通量积分中,可以消掉大小这一项:
步骤 3: 展开积分
首先计算叉乘开始:
作为参考, 定义如下:
现在计算每个偏导数,然后找出其叉乘。
概念检查:刚才求出的 的表达式给出的法向量是向外还是向内?
然后,把 用 和 表示。作为参考, 和 定义如下:
太棒了! 现在我们有了积分内部的所有部分。
通过计算前两个答案的点乘,只用参数 和 表示此积分的内部。 尽可能简化你的答案,将有助于下一节中的积分计算。
步骤4:计算积分
到目前为止,我们在二重积分下面写了一个 来表示 平面中,要积分的区域是半径为 的圆盘。 现在,要计算积分本身时,需要写出参数 和 的具体界限。
首先,画出 ,并且想象把它剪成竖直的条:
从图中可以看出, 的值域是从 到 。将这些边界代入二重积分,所得如下:
然后,有几个方法可以完成这道题
- 痛苦地:手算出这个二重积分(啊!)。
- 务实地:用像 Wolfram Alpha 的计算软件来计算。
- 聪明地:认识到对于
,被积函数是奇函数。 把 和每一项相乘,可以看到所有项都有 或 。 这意味着内部积分从 到 的部分可以和从 到 的部分消掉。 因此,积分整体为 。
总结
通量积分一开始长这样:
用以下四个步骤来解决问题:
- 步骤 1:参数化曲面,并将此曲面积分转换为参数空间上的二重积分。
- 步骤 2:代入单位法向量的公式。
- 步骤 3:简化被积函数,它包含两个向量值的偏导数,一个叉乘和一个点乘。
- 步骤 4:计算二重积分(实际上从这里就可以靠计算机了)。