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课程: 多变量微积分 > 单元 4

课程 2: 标量函数的线积分 (文章)

函数图的弧长, 示例

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练习查找各种函数图的弧长。

背景知识

函数图的弧长, 介绍

例子 1: 利用半圆练习

考虑半径为

1

的半圆,以原点为中心, 如右图所示. 从几何学中, 我们知道这条曲线的长度是

π

.让我们练习我们新学习到的计算弧长的方法, 重新发现半圆的长度.

就定义而言, 圆周上的所有点

(x, y)

都和原点相距

1

, 所以我们有

$x^{2} + y^{2} = 1$ ‍

将等式重写,把

y

表示为

x

的函数,我们得到

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ ‍

在计算弧长积分时,可以想象用一连串小线来近似这条曲线.

写下弧长积分,暂时忽略边界,我们得到:

$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍

和以前一样,我们认为被积函数

\sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}

表示近似曲线的这些小线之一的长度(按照勾股定理).

现在我们开始将我们特定曲线的定义插入到积分中.

步骤1: 将 $d y$ ‍以 $d x$ ‍表示

使用

y = \sqrt{1 - x^{2}}

来将

d y

写成

d x

的函数.

$d y =$ ‍
$d x$ ‍

步骤 2: 替换积分中的 $d y$ ‍

将

d y

的表达式代换到积分中,将被积函数完全以

x

和

d x

表示.

$\int$ ‍
$d x$ ‍

步骤3: 确定积分边界并求解

由于曲线是在

x = - 1

和

x = 1

之间定义的,因此可以将这些值设置为积分的边界并求解.

(对不起, 没有一个对号在这里. 我们从几何学中知道, 弧长是

π

, 但有趣的部分是通过弧长积分的计算来发现

π

是如何出现的.)

我们的积分如下所示:

$\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} \sqrt{\frac{1}{1 - x^{2}}} d x \end{array}$ ‍

现在, 从这里开始我们可以使用几种方法.

将此积分输入计算器或计算机代数系统,并观察答案如何得到.
记起来或认识到, 这个积分是 $\arcsin (x)$ ‍
使用三角代换求解积分.

所有这些方法都可以, 但重点关注的是三角代换. 我想要讲清楚这种替代在几何上实际意味着什么. 希望这能说明这种计算技巧的工作原理和原因, 帮助你判断这种替换是否适用于其他积分.

“积分用

x

表示” 意味着什么? 它基本上让你沿着

x

-轴走，从

- 1

到

1

, 测量你头上方圆圈上的弧长.

然而, 在这种情况下, 很容易想象成是在沿着圆圈本身行走. 观察下图:

圆上的每个点,都可以使用角度

θ

的值来描述, 值的范围从

0

到

π

. 此外, 由于半径为

1

, 以弧度为单位的

θ

的值实际上反映了弧长.

θ

的微小变化将对应弧长的微小变化. 因此, 描述所需弧长的替代积分可以是这样的

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π} d θ \end{array}$ ‍

从某种意义而言, 我们已经完成了题目. 很容易看出这个积分的计算结果为

π

, 这确实是我们半圆的弧长. 但是这与我们以前的积分之间的关系是什么?

由于圆上的任何点的

x

值是

$x = - \cos (θ)$ ‍

这表明用

- \cos (θ)

替换

x

将简化我们的积分. 让我们具体分析这个过程. 当我们进行这种替换时, 我们必须做三件事

步骤 1: 将

x

用

- \cos (θ)

替换

步骤 2: 将

d x

用

d (- \cos (θ)) = \sin (θ) d θ

替换

步骤 3: 将积分极限

x = - 1

和

x = 1

以

θ

表示.

关系式 $x = - 1$ ‍替换成 $- \cos (θ) = - 1$ ‍. 当 $θ = 0$ ‍时上述情况成立.
关系式 $x = 1$ ‍替换成 $- \cos (θ) = 1$ ‍. 当 $θ = π$ ‍时上述情况成立.

有了上面所有的变换, 我们可以得到

\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} \sqrt{\frac{1}{1 - x^{2}}} d x \to \int_{0}^{π} \sqrt{\frac{1}{1 - \cos^{2} (θ)}} \sin (θ) d θ \end{array}

用

\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1

来简化, 可以得到

$\begin{aligned} \int_{0}^{π} \sqrt{\frac{1}{1 - \cos^{2} (θ)}} \sin (θ) d θ \\ \int_{0}^{π} \sqrt{\frac{1}{\sin^{2} (θ)}} \sin (θ) d θ \\ \int_{0}^{π} \frac{1}{\sin (θ)} \sin (θ) d θ \\ \int_{0}^{π} d θ \end{aligned}$ ‍

所以, 三角代换极大地简化了我们的积分过程, 但它不仅仅是魔术.它使事情变得更简单的原因是, 曲线更自然地描述了上面图中所显示的值

θ

练习计算弧长积分

弧长的实际积分通常很难计算.然而,这里重要的技巧是建立积分.所以让我们多练习几次不需要计算最终积分的操作.（一旦得到具体的积分,就可以使用计算器或wolfram alpha引擎计算).

例子 2: 钟形曲线

什么积分表示了曲线

y = \sin (x)

在

x = 0

和

x = 2 π

之间的弧长?

$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \end{array}$ ‍
$d x$ ‍

a =

b =

和往常一样, 积分开始时是这样:

$\begin{array}{r} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \end{array}$ ‍

步骤1: 将

d y

以

d x

表示

$\begin{aligned} y & = \sin (x) \\ d (y) & = d (\sin (x)) \\ d y & = \cos (x) d x \end{aligned}$ ‍

我认为, 除了在所有项面前加上

d

符号，也要想想这意味着什么. 如果你在曲线上的

(x, y)

点上, 然后向右走一小步

d x

, 现在要回到曲线上, 你需要向上走的距离正是

\cos (x) d x

步骤 2: 将

d y

的值代入积分

$\begin{aligned} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} & = \int \sqrt{d x^{2} + (\cos (x) d x)^{2}} \\ = \int \sqrt{1 + \cos^{2} (x)} d x \end{aligned}$ ‍

步骤 3: 将边界代入积分

在这种题目中明确指出

x

是从

0

到

2 π

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2 π} \sqrt{1 + \cos^{2} (x)} d x \end{array}$ ‍

例子3: 向上, 而非向右

考虑曲线代表了

$y = \pm \sqrt{x}$ ‍

对于

x \leq 4

的所有值,请写出表示此曲线弧长的积分.请用

y

而不是

x

来写积分

$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \end{array}$ ‍
$d y$ ‍

a =

b =

与到目前为止的所有示例不同, 曲线不是只关于

x

的函数的图像. 相反, 它涉及两个独立的函数:

$y = \sqrt{x}$ ‍

$y = - \sqrt{x}$ ‍

但是,它是

y

相对

x

的函数的曲线:

$x = y^{2}$ ‍

因此, 不是构造关于

d x

的两个单独的积分, 这种情况下我们是沿着图像向右走来计算每个积分, 在这道题中, 我们构造了一个关于

d y

的单个积分, 我们是沿着曲线从下到上走.

计算积分的步骤与我们到目前为止所做的一切几乎都相同, 但要注意我们在所有表达式中用

y

来代换

x

, 而不是相反的.

步骤1: 用 $d y$ ‍ 表示 $d x$ ‍

$\begin{aligned} x & = y^{2} \\ d (x) & = d (y^{2}) \\ d x & = 2 y d y \end{aligned}$ ‍

步骤 2: 将 $d x$ ‍ 的值代入积分

$\begin{aligned} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} & = \int \sqrt{(2 y d y)^{2} + d y^{2}} \\ = \int \sqrt{((2 y)^{2} + 1) d y^{2}} \\ = \int \sqrt{4 y^{2} + 1} d y \end{aligned}$ ‍

步骤3: 确定积分边界

这一次, 积分是用

y

表示的, 因此边界必须也是

y

的值.

观察上图, 我们可以发现曲线上

x = 4

的端点, 对应的

y

值是

y = - 2

和

y = 2

$\begin{array}{r} \int_{- 2}^{2} \sqrt{4 y^{2} + 1} d y \end{array}$ ‍

用

y

而不用

x

来表示函数的根本原因是, 如果沿着这条曲线从下到上移动, 而不是从左到右, 会更容易解决问题. 一般而言, 这是一个需要记住的重要原则, 当你沿着曲线进行积分时, 你使用的公式和符号应该反映出你实际沿曲线走的方式.

例子 4: 完全一般性

假设一个任意的函数

f (x)

, 它的微分是

f^{'} (x)

.以下哪一个表示图形的弧长

$y = f (x)$ ‍

在点

x = a

和

x = b

之间?

人们通常会通过提出这个公式来开始教授弧长.就我个人而言,我认为这样可以让您自己发现它并真正感受它真正代表的东西.

总结

我们使用弧长来描述曲线的长度.如果你将曲线想象为一个字符串,一旦拉紧它,这就是该字符串的长度.

可以通过以下形式的积分来计算曲线的弧长
$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍
- 如果曲线是函数 $y = f (x)$ ‍的图形,则用 $f^{'} (x) d x$ ‍替换积分中的 $d y$ ‍项,然后将 $d x$ ‍分解出来.积分的边界值将是曲线的最左边和最右边的 $x$ ‍值.
计算弧长积分时, 考虑选择沿着曲线那个方向行走是很有帮助的.

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