主要内容
课程: 多变量微积分 > 单元 4
课程 4: 向量场中的线积分 (文章)保守的向量场
对于物理学来说特别重要的是, 在保守向量场中,沿着连接相同两点的两条路径进行积分结果相同。
背景知识
- 线积分的基本定理,也称为梯度定理。
我们要做什么
如果一个向量场 满足以下三个属性之一,则称其为 保守向量场(三个属性均已在文中给出定义):
的线积分是 与路径无关。- 闭环上
的线积分始终为 。 是某个标量函数的梯度。即,对于某函数 , 。
还有一个属性与上述属性相当: 不可旋转,这意味着它的旋度处处为 0(这里有一个小的前提条件)。我会在另一篇文章中定义与线积分相关的旋度。
这里的关键不仅仅是保守向量场的定义,而且包括惊人的事实:看似毫不相干的条件竟然是等价的。神奇!
路径无关
假设有一个向量场 ,你需要沿着两条不同路径 和 对 做线积分,这两条路径都从点 开始至点 结束。
对于几乎所有的向量场 ,以及几乎任意两条路径 和 ,积分将是不同的。
这是有道理的!每个积分都是把空间里完全不同的点上的完全不同的值加起来。惊人的是总是存在一些向量场,在其上连接相同两点的不同路径总是相等的,无论选择了哪条路径(有无数中选可能)。
定义: 这条性质被称为 路径无关。具体而言,如果通过一个向量场 的线积分的值只取决于路径的起点和终点,而不是路径的选择,那么我们说这个线积分与路径无关。
实际上,当你真正理解梯度定理后,就能破解它得奥妙了。这是因为对 的梯度的线积分是衡量 的值的变化。通过 的图像来理解梯度定理更容易些,等于说你沿着任意两条路径从一个点到达另一个点,那么你的海拔高度的变化总是相同的。
总结起来得结果就是梯度场是非常特殊的向量场。因为“路径无关”这一性质是很少见的,因此,从某种意义上来说”大部分”向量场都不是梯度场。
路径无关意味着梯度场
好,梯度场因为路径无关的特性而特殊。但你能找到这样一个向量场 吗,其任意线积分都与路径无关,但它并不是某标量函数的梯度?
我猜我的章节标题已经暗示了答案:如果一个向量场上的线积分与路径无关, 则这个向量场一定是某函数的梯度 。 但是为什么呢?
说真的,为什么是这样?考虑任意一个向量场 ,其上所有的线积分都是路径无关的,这意味着
对于所有连接点 和点 的路径 和 , 这一特性为什么确保了必定存在某函数 使得 ?
挑战问题: 想一想如何利用 的路径无关特性构建一个用 表示的函数 吗?
这是一个棘手的问题, 但回顾梯度定理或许能帮我们获得灵感.
闭合环线
定义:如果一个路径的起点和终点相同,则称其为 闭合。这样的路径也被称为闭合环线。
比如,下图中路径 的起点和终点都是 。
若一个向量场 上所有的线积分都与路径无关,那么 在任意闭合环线上的线积分都为 。为什么?
这个事实的对立面也是正确的: 如果 在所有闭合环线上的线积分值都是 ,那么其上所有的线积分都一定是路径无关的。为什么?
闭合环线积分的特殊标记
你有时会看到闭合环线 的线积分被写为:
别担心,这不是一个需要学习的新运算。它只是一个线积分,计算方法与我们以前做的一样,只是需要注意 是一个闭合环线。
势能
在介绍 向量场上的线积分的文章中,我简要地提及了物理学中,力对一运动物体做的功可通过求力的向量场沿运动路径上的线积分求出。
如果一个物体在力的作用下从点 运动到点 ,无论选择何种路径,该力所做的功总是相同的,那么我们称这个力是保守的。换言之,积分总是与路径无关。基本的力比如重力和电力是保守的,摩擦力是典型的非保守力。
根据上述讨论,我们得到一个有趣的结果:如果一个力是保守的,它一定是某个函数的梯度。
此外,根据梯度定理,这个力在物体从点 运动到点 的过程中所做的功可以通过计算函数 在这两个点上的值得到:
想必你们之中的学物理的学生已经猜到了, 函数 是势能. 比如,如果你求重力势能或电势能的梯度, 你就可以分别得到重力和电力. 这就是为什么计算保守力所做的功能够被简化为求势能间的差的原因.
这也意味着你永远不可能有 "摩擦势能",因为摩擦力是非保守的。
埃舍尔
从物理学转到艺术,这幅埃舍尔(Escher)的经典画作《升降》展现了如果重力是非保守力时世界的样子。
闭合环线视角:
- 想象一下在这个楼梯上顺时针行走。每走一步重力都会对你做负功。因此,沿着整个环线对功做积分,重力作用在你身上的全部功将会是较大的负值。然而,这是闭合环线上的一个积分。所以它非零的事实意味着作用在你身上的力不可能是保守的。
路径无关视角
- 想象一下,从右角的塔楼走到左边的角落。如果你沿着顺时针方向到达那里,重力会对你做负功。如果你沿着逆时针方向到达那里,重力会对你做正功。由于两条路径的起点和终点一致,并非与路径无关,因此重力场将不可能是保守的。
梯度视角:
- 在真实世界中,重力做的功与高度的改变成正比。因此重力势能与高度相关。埃舍尔的画作令人惊奇之处在于高度失去了意义。一直向上走而不向下走却能让你回到原点。也就是说不存在一个函数
使我们可以用 表示重力场。