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主要内容

构造曲线的单位法线向量

给定一条二维曲线作为输入变量, 如何找到一个函数使其输出为该曲线的单位法线向量?

我们要做什么

  • 一个二维曲线的 单位法线向量 是一个大小为 1, 在某一点垂直于曲线的向量。
  • 通常情况下,你需要找到一个函数,这个函数的输出是一个给定曲线的所有可能的单位法线向量, 而不仅仅是一个向量。
  • 要找到一个二维函数的单位法线向量,我们采取下面的步骤:
    • 求切线向量,这需要对定义该曲线的参数函数求导。
      • 将切线向量旋转 90,这涉及互换坐标并把其中一个坐标变为原来的负数。
      • 将结果规范化, 这需要将其除以自身的长度。
  • 简单地说,你得到的结果会是这个样子的:
1ds[dydx]
对于从曲线上截取的极微小的一段,将dx 看作是这一小段曲线的 x-分量,dy 看作是这一小段曲线的 y-分量, ds 是这一小段曲线的长度。

示例: 正弦曲线的法线向量

观察函数 f(x)=sin(x) 的图形。
假设你需要知道某曲线的 单位法线向量 函数(也许你需要知道通过它的流量)。换句话说,对于曲线上的任意一点,你想要能够给出一个垂直于该曲线, 大小为 1 的向量的坐标。
这意味着你需要一个表达式,把曲线上的任意一点输入这个表达式,就可以得到一个大小为 1,在该点垂直于该曲线的向量。

步骤 0: 将函数参数化

首先, 我们需要让函数变成参数形式。将函数图形变为参数函数是很简单的事情。我们让参数 t 代替 x
v(t)=[tsin(t)]
我称之为 "步骤 0",因为通常曲线最初就是参数定义的,所以这一步可能可以免掉。
这对单位法线向量来说,意味着我们将求得第二个以 t 为自变量的向量值函数,但它的输出不是正弦函数本身,而是该曲线在点 v(t) 上的单位法线向量。

步骤 1: 求切线向量

当你对参数函数求导的时候,会得到一个该曲线的切线向量:
如果你觉得这一步有点儿陌生, 可以去回顾一下文章 向量值函数的导数
在本例中,导数是这个样子的:
dvdt=[ddt(t)ddt(sin(t))]=[1cos(t)]
例如,如果令 t=π,你会得到如下向量:
dvdt(π)=[1cos(π)]=[11]
当你移动此向量,使其尾部位于点 v(π) 时,对于正弦函数来说该点是 (π,0),那么它将与曲线相切。

步骤 2: 将向量旋转 90

要将切线向量转换为法线向量,你只需将其旋转 90. 怎样做呢? 将两个分量互换,并使其中一个变为原来的负数:
[xy][yx]
选择哪个分量将其变为负数呢? 如果逆时针旋转, 将第一个分量变为负数; 如果顺时针旋转,则将第二个分量变为负数。
在本例中,我们将切线向量逆时针旋转,使其指向:
[1cos(t)]切线向量[cos(t)1]法线向量

步骤 3: 将其大小变为 1

我们得到了一条法线向量。但要使其成为 单位 法线向量,我们必须将其除以它本身的大小。在本例中,它的大小如下所示:
||[cos(t)1]||=cos2(t)+12
因此,单位法线向量函数 n^(t) 如下所示:
n^(t)=[cos(t)/cos2(t)+121/cos2(t)+12]

总结

让我们概括此示例的步骤,看看它们如何应用于任何参数曲线。
  • 步骤 0: 将曲线参数化
  • 步骤 1: 通过微分参数函数得到曲线的切线向量:
    dvdt=[x(t)y(t)]
  • 步骤 2: 将向量旋转 90,互换其坐标并使其中一个坐标为负。
[x(t)y(t)]切线向量[y(t)x(t)]法线向量
  • 步骤 3: 将其除以其自身大小,使其变为 单位 法线向量:
1x(t)2+y(t)2[y(t)x(t)]
如果你愿意,你可以从微分的角度来思考这个问题,这段微小的曲线由向量 [dxdy] 表示。它的大小是 ds=dx2+dy2. 基于微分的概念,你可以将单位法线向量表示如下:
n^=1ds[dydx]

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