主要内容
课程: 多变量微积分 > 单元 4
课程 4: 向量场中的线积分 (文章)构造曲线的单位法线向量
给定一条二维曲线作为输入变量, 如何找到一个函数使其输出为该曲线的单位法线向量?
背景知识
我们要做什么
- 一个二维曲线的 单位法线向量 是一个大小为
, 在某一点垂直于曲线的向量。 - 通常情况下,你需要找到一个函数,这个函数的输出是一个给定曲线的所有可能的单位法线向量, 而不仅仅是一个向量。
- 要找到一个二维函数的单位法线向量,我们采取下面的步骤:
- 求切线向量,这需要对定义该曲线的参数函数求导。
- 将切线向量旋转
,这涉及互换坐标并把其中一个坐标变为原来的负数。 - 将结果规范化, 这需要将其除以自身的长度。
- 将切线向量旋转
- 求切线向量,这需要对定义该曲线的参数函数求导。
- 简单地说,你得到的结果会是这个样子的:
对于从曲线上截取的极微小的一段,将 看作是这一小段曲线的 -分量, 看作是这一小段曲线的 -分量, 是这一小段曲线的长度。
示例: 正弦曲线的法线向量
观察函数 的图形。
假设你需要知道某曲线的 单位法线向量 函数(也许你需要知道通过它的流量)。换句话说,对于曲线上的任意一点,你想要能够给出一个垂直于该曲线, 大小为 的向量的坐标。
这意味着你需要一个表达式,把曲线上的任意一点输入这个表达式,就可以得到一个大小为 ,在该点垂直于该曲线的向量。
步骤 0: 将函数参数化
首先, 我们需要让函数变成参数形式。将函数图形变为参数函数是很简单的事情。我们让参数 代替 :
我称之为 "步骤 ",因为通常曲线最初就是参数定义的,所以这一步可能可以免掉。
这对单位法线向量来说,意味着我们将求得第二个以 为自变量的向量值函数,但它的输出不是正弦函数本身,而是该曲线在点 上的单位法线向量。
步骤 1: 求切线向量
当你对参数函数求导的时候,会得到一个该曲线的切线向量:
如果你觉得这一步有点儿陌生, 可以去回顾一下文章 向量值函数的导数。
在本例中,导数是这个样子的:
例如,如果令 ,你会得到如下向量:
当你移动此向量,使其尾部位于点 时,对于正弦函数来说该点是 ,那么它将与曲线相切。
步骤 2: 将向量旋转
要将切线向量转换为法线向量,你只需将其旋转 . 怎样做呢? 将两个分量互换,并使其中一个变为原来的负数:
选择哪个分量将其变为负数呢? 如果逆时针旋转, 将第一个分量变为负数; 如果顺时针旋转,则将第二个分量变为负数。
在本例中,我们将切线向量逆时针旋转,使其指向:
步骤 3: 将其大小变为
我们得到了一条法线向量。但要使其成为 单位 法线向量,我们必须将其除以它本身的大小。在本例中,它的大小如下所示:
因此,单位法线向量函数 如下所示:
总结
让我们概括此示例的步骤,看看它们如何应用于任何参数曲线。
- 步骤 0: 将曲线参数化
- 步骤 1: 通过微分参数函数得到曲线的切线向量:
- 步骤 2: 将向量旋转
,互换其坐标并使其中一个坐标为负。
- 步骤 3: 将其除以其自身大小,使其变为 单位 法线向量:
如果你愿意,你可以从微分的角度来思考这个问题,这段微小的曲线由向量 表示。它的大小是 . 基于微分的概念,你可以将单位法线向量表示如下: