线积分和向量场

在所有的物理知识中， 最基本的概念之一就是功的概念。 当你第一次学习功，你会说 功就是力乘以距离。 但是后来，当你学习了一些关于矢量的知识， 你知道， 力不是总和距离在一个方向， 你知道，功其实是幅值--我把它写下来-- 其实是力的幅值在这个方向， 或者说 力在位移方向上的分量， --而位移则是具有具有方向的距离。-- 力在位移方向上的分量乘以位移的幅值， 也就是说，乘以移动的距离。 一个经典的例子 就是你有一个冰块，或者一个立方体， 用冰块是为了它不存在许多摩擦， 或许这个立方体放在一个湖上，或者冰上， 或许你以某个角度拉着这个冰块， 比如，你以这样的角度拉着冰块， 这是我的力， 我们说，我的力是-- 这是我的力矢量， 我们说 这个力矢量的幅值是 10 牛顿， 我们说，我的力矢量的方向， 对，任何矢量都有一个幅值和一个方向， 这个方向，我们说有一个30°的角， 还是说在水平方向上方的一个60°的角吧， 这就是我拉冰块的方向， 我移动这个冰块， 这都是复习。 如果你在移动它，而移动的距离是 5 牛顿， 位移，就是这个位移矢量， 它的幅值是 5 米，不是 5 牛顿， 你已经学习了功的定义， 你不能说，奥，我用10 牛顿的力拉它， 我移动了5米， 你不能就用10牛顿乘上5米。 你必须找到在与位移相同方向的 力的分量的幅值。 所以你需要找到-- 如果这个矢量的长度是 10， 这是全部的力，但是你要找到 这个矢量的长度，这是这个力 在我的位移方向的分量。 用一点简单的三角学， 你知道这就是 10 乘以 cos (60°）， cos (60°) 就是 1/2，所以它就是 5， 所以这个幅值， 这个力在位移方向的幅值， 就是 5 牛顿。 这样，你就能算出功了。 你可以说，功就等于 5 牛顿乘以，-- 我这回在这里写一个点， 我不想让你们理解为叉乘， 乘以 5 米，也就是 25 牛顿米， 你也可以说，做了 25 焦耳的功。 这些都是对一些基本物理知识的复习。 我们来想一下刚才做了什么。 功是什么？ 我给出提要， 功就等于这个 5 牛顿， 它就是我的力的幅值 这个力的幅值乘以这个角的余弦， 我们叫这个角 θ ， 我们给出一般的描述， 乘以这个角的余弦， 这就是我的力在位移方向的量， 它们之间的夹角的余弦， 乘以位移的幅值， 再乘以位移的幅值， 我可以把它重新写为 位移的幅值乘以力的幅值 再乘以cos(θ)， 对此，我已经在许多视频中讲过， 在线性代数的视频中，物理的视频中， 我们都讨论过点积和叉积。 这就是矢量 d 和 f 的点积， 一般来说，如果你试图计算对于 常数位移的功，你有常数力， 你只需要求这两个矢量的点积。 如果点积对你完全是个生疏的概念 你可以去看--我想，对于点积， 我已经有过4-5个视频， 讲到它的直观的意义和怎样去比较。 这里，再给出它的直观的解释， 点积，在我求 f 点乘 d，或者 d 点乘 f， 它给出的就是，幅值相乘， 我可以把它读一遍， 而点积的概念就是 求出这个矢量在和这个矢量相同的方向上有多大， 在这个例子中，它有这么大， 然后把这两个幅值相乘， 这就是我们刚才做的。 所以，功就是这个力矢量，点乘 --取力矢量的点乘部分 -- 点乘这个位移矢量， 当然，它是一个标量。 后面，我们还要做些例题， 你们会看到，这是正确的。 这是对一些初级的物理知识的复习。 现在，我们要做一个更加复杂的例题， 但它的概念是相同的。 我们来定义一个矢量场， 我有一个矢量场 f， 一会我们再来考虑它是什么意思。 这是一个 x 和 y 的函数，它等于 x 和 y 的一个标量函数乘以 i -单位矢量， 或者说是水平单位矢量，加上另一个函数， 一个 x 和 y 的标量函数乘以垂直单位矢量。 这是什么呢？ 这就是一个矢量场。 这是一个二维空间的矢量场。 我们是在 x-y 平面。 或者，你可以说我们在 R2。 两种说法都可以， 我不想在它的数学性质上讲得太深。 但是，这个矢量场用来做什么呢？ 如果我要画出 x-y 平面， 这就是--我怎么老是画不好直线-- 好了，可以了， 这是我的 y 轴，这是我的 x 轴。 我只画了第一象限， 如果你愿意，你可以画出两个方向的负的部分。 它用来做什么？ 它实际上告诉我们， 如果你给我任何 x 任何 y，你在x-y 空间给我任何 x,y， 它们都会得到一个数字，对吧？ 你把 x,y 放在这里，你会得到一个值， 你把 x,y 放在这里，你会得到一个值， 你会得到 i 单位矢量 和 j 单位矢量的 某种组合。 你会得到某一个矢量。 所以，这个矢量场就可以 定义一个与 x-y平面上的每一个点相关的矢量。 你可以说，如果我取 x-y 平面上的这个点， 我把它放在这里，我就得到一个数值乘以 i 加上一个值乘以 j ， 如果你把二者相加， 我就能得到这样的一个矢量。 你可以对每一个点都这样做。 我只随机的举几个例子。 当我到这里， 矢量就是这样的， 如果我到这里，矢量是这样的， 或许我到这里，矢量是这样的， 或许我向上走到这里，矢量是这样的， 我只是随机的选了几个点， 它可以定义一个矢量， 对这两个标量函数有定义的所有x,y 坐标，都是这样。 这就是为什么它叫做矢量场。 它定义了可能存在的力， 或者在任何一点的其他形式的力。 在任何一点，如果凑巧有什么在那里 或许它就是由这个函数定义的， 我可以一直这样做下去， 可以填满所有的空间。 我想你们明白了这个意思。 它把一个矢量和 x-y 平面上的每一个点关联起来， 这就叫矢量场， 它很有意义， 它可以用来描述任何形式的场。 它可以是重力场， 它可以是电场，也可以是磁场。 它可以告诉你 在场内的一个粒子上有多少力， 这就是它能确切描述的意思， 现在，我们说，在这个场内， 我有一个粒子在 x-y 平面上移动， 它从这里开始，由于所有这些 疯狂的力作用于它，它或许沿着某一轨迹运动， 它不一定完全按照 这个场使它移动的方向运动， 它可以是沿着这样的一个路径运动， 我们说，这个路径，这个曲线 可以用一个位置矢量函数来定义， 我们说，它由 r(t) 来定义， 就是 x(t)乘以 i 加上 y(t)乘以单位矢量 j ， 这就是 r(t)， 为了让它是一个有限的路径， 它在 t 大于等于 a 和 t 小于等于 b 成立。 这就是这个颗粒 由于所有这些奇怪的力的作用所走过的路径。 当这个颗粒在这里，或许矢量场作用于它， 作用于它的力是这样的， 但是因为它在一个轨道上， 它在这个方向移动。 当这个颗粒在这里，这个矢量场是这样的， 但是它在这个方向运动， 因为它在某种形式的轨道上。 在这个视频中，我已经做的 就是构造了一个基本的问题， 这个场在这个颗粒上做的功是什么？ 为了回答这个问题，我们把它放大一点， 我要对 路径上的一个很小的线段进行放大， 我们先来求出，对在路径上一个很小的部分， 它所做的功是什么，因为它一直在变化， 场的方向在变化， 小颗粒的方向也在变化， 我在这里时， 我在路径上移动很小的量， 我移动了一个 无限小的 dr ，对吧？ 我有一个微分，矢量的微分， 一个无限小的位移， 我们说，在这个过程中， 矢量场对这个区域的作用 是这样的， 它提供了一个力，就像这样， 这是这个区域的矢量场， 或者说是施加在那个小颗粒上的力， 对吧？ 它是空间中一个无限小的时间， 你可以说，在这个很小的点， 这个力是一个常数。 那么在这个很小的时间段，它做的功是什么？ 这很小的一部分功是什么？ 你可以叫它 d work ，或者说是功的微分， 采用我们刚才在这个简单问题的同样的逻辑， 它就是位移方向上的力的幅值 乘以位移的幅值， 从上面这个例题，我们知道 这是点积。 它就是这个力和 这个超小的位移的点积。 它等于我们的力和 这个超小位移的点积。 这样，我们求出了 在一个很小，超小的 dr 上的功， 但是我们想要的是把它们加在一起。 我们要把所有的这些 dr 加起来，求出全部-- 由所有的 f 点乘 dr 求所做的全部的功。 这就是需要用积分的时候。 我们要做线积分 你可以用两种方法来考虑。 你可以在这里写上 dw， 我们要沿着这个曲线 c 做 dw 的线积分，可以叫它 c 或者说沿着 r ，都行。 它就能让我们得到全部的功。 我们说功 W 就等于它。 或者，我们可以写成 f 点乘 dr 在同样的曲线上的积分。 它看起来 相当抽象， 我们怎样来计算这样的积分呢？ 特别是我们的表达式 都已经参数化，成为用 t 来表示了。 我们怎样把它用 t 来表示呢？ 如果你想一想，f 点乘 r 是什么？ f 点乘 dr 是什么？ 实际上，要回答这个问题， 我们记得 dr 是什么样， 如果你记得， dr/dt 等于 x‘(t)，我这样写， 如果我愿意，我也可以写成 dx/dt 乘以 i 单位矢量，加上 y'(t) 乘以 j 单位矢量。 如果我要写成 dr ，我们可以两边乘上-- 这是对微分 不是特别严谨的写法-- dr = x'(t) dt 乘以单位矢量 i 加上 y'(t) 乘以 微分 dt 乘以单位矢量 j， 这就是我们的 dr。 我们还记得我们的矢量场是什么， 它就是这里的表达式。 我们把它拷贝粘贴过来， 我们会看到这个点乘 实际上也不是太难。 这样，拷贝，把它粘贴到这里。 那么积分会是什么样呢？ 这里的这个积分，它给出 这个场对这个颗粒沿这这个路径所做的全部的功， 你会发现，你所做的 是最基本的严谨的物理学。 所以你可以说， 它是从 t = a 到 t = b 的积分。 对吧？a 是路径的出发点， 从 t = a 到 t = b。 你可以想象，随着时间推移， 这个颗粒在移动。 那么，f 点乘 dr 是什么？ 如果你还记得刚才我们说过的点积的定义， 你就可以把相应的矢量的分量相乘 然后把它们相加。 它就成了 t=a 到 t=b 的积分 P(x,y)，我们不写 x,y， 而写 x(t)， x是 t 的函数， y 是 t 的函数 就是这样。 乘以这里的表达式，乘以这个分量，对吧？ 我们是在乘以 i -分量， 也就是乘以 x'(t) dt，然后加上 我们要对 Q函数做同样的运算， 这是加--我再写另一行， 我可以接着写， 但是后面没有空间了。-- 加上 Q( x(t)，y(t)) 乘以 dr 的分量， 乘以 y-分量，或者说 j-分量， y'(t) dt 。 我们就做完了。 我们做完了。 这好像还是有些抽象， 但是在下一个视频中我们会看到， 现在每一项都是用 t 来表示， 所以它只是对于 dt 的一个直接的积分。 如果我们愿意，我们可以把 dt 提到方程外面来， 这样看起来更加正常了。 这实质上就是我们必须要做的， 在下一个视频中，我们要做一些 在矢量场，或者用矢量函数 进行线积分的具体的例题。