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标量场线积分独立于路径方向

显示标量场的线积分与路径方向无关. Sal Khan 创建

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视频字幕

在上一个视频里,我们看到如果在xy坐标系里有一些曲线 如果我们只是在一般的意义上将其参数化 我们可以参数化另一个基本相同的曲线 实际上这是相同的曲线 只是方向完全相反 当t从a走到b,它从这里开始然后走到达这里 与第一个参数化相反,当t相同,从b走到a 那么就是这条曲线 我想在这个视频里回答的问题是 纯量场在这条曲线上的线积分是怎么回事 这是我的纯量场,它是x和y的函数 那么这条曲线上的线积分 和另外相反方向上曲线的线积分 在同一个纯量场上的关联性 也就是说,当我们对一个纯量场进行线积分 我们朝这个方向移动还是那个方向移动 其结果有什么样的关系 在下一个视频中 我们将讨论它在向量场上是否有关 现在来看我们有没有一点直观的感觉 在证明这个问题之前 我来做图 我画到下面一点 因为我觉得我的图要占到很多空间 这是我的x和y轴 再来画出纵轴z 再来画一个纯量场 所以我把它画成一个曲面,画出其中的一部分 这就是我的纯量场,这个是函数f(x,y) 对应xy坐标上的任何点,我可以关联一个高度 来定义一个面,这就是纯量场 我把这个曲线画出来 我们把这个定义为曲线c 我们首先定义它,从这里开始 朝那个方向移动 这就是曲线c 我们从几个视频中了解到 直观显示线积分是什么意思 就是说我们基本上是想计算出一个窗帘的面积,这个窗帘以曲线为底, 天花板由这个面来定义 而这个就是纯量场的定义 所以我们只是想找到这张曲线纸的面积 或者说这面墙的面积,或者你用其他任何字眼来定义也行 这就是我们所要说的东西 现在,如果我们取相同的积分 在相反的曲线上,而不是朝那个方向 我们往相反的方向 我们不走这个弯 我们从上到下 意思是一样的 我不知道哪个是c,哪个是-c 我可以先定义这个路径为c 那么-c就会从这里开始 然后往回走 不管哪个方向,不管我怎么做 我就是想算出 这一块曲面的面积 所以我的直觉告诉我不管我怎么走 当我算出各自曲面的面积时 它们的面积或许是一样的 我还没有证明出任何东西,但是 看起来它们应该是一样的,对吧 在这种情况下,我来取一块 我来说清楚一点 我来取ds 就是取距离变化里面很小的一部分 我用不同的颜色来做 距离的一个小的变化,然后乘以 高度,来找到这个区域的微分 然后我把所有这些小的区域加在一起 就可以求出整个区域的面积 我在做同样的事情 我取很小的一块ds,记住 ds总是正的,就像我们参数化那样 这里也是,我们取ds 然后乘以高度 再次强调,我们现在是来取面积 我实际上是想把下面2个做一个区别 比如说,f(x)dx在区间a到b的积分 当我们交换积分的边界时 它会使积分变为负数 这个和f(x)dx在区间b到a的积分 的负值是一样的 为什么会是这样的呢?因为如果您把 这个想象为a,这个是b,那个是函数f(x) 当您用这个方法做的时候,您的dx 总是正的 当您往这个方向走,您的dx 一定是正的,对吧 左边界 所以你的dx是正的 在这个情况下,您的dx总是负的 高度都是一样的 它总是等于f(x),但是当x的变化为从b到a时 是往负的方向变化 所以您得到的一定是负的积分 但是不管哪种情况,我们的路径发生变化 我们的ds都是正的 我们画这个面的方法 是在x,y坐标之上,所以f(x,y)一定是正的 所以这也给出了同样的直觉 这应该是完全相同的区域 我们还是来证明吧 让我们从我们的第一个参数化曲线开始 就像我们在上一个视频中做的那样 我们有x等于x(t),y等于y(t) 然后t从a走到b 我们知道我们需要这些的导数 所以现在就写下来 我们可以写成dx/dt等于x'(t) 我写整洁一点,dy/dt等于y'(t) 到这里没有重大进展 但是我们知道函数f(x,y)在曲线c上的积分 f是一个纯量场,不是一个向量场 这个积分就等于t从a开始 到t走到b为止, f( x(t),y(t)) 积分乘以 dx dt 的平方就是x(t)的导数的平方加上 加上dy dt的平方,与y(t)的导数的平方相同 所有都在根号里,再乘以dt 给定这个参数化,那么这个积分就是这样表达 现在来做负c的版本 我用橘色来做 我在这里来做负c版本吧 负c版本里,x等于 您记得,实际上,就是从这里开始 这是从上一个视频里来的 x等于x(a+b-t) y等于y(a+b-t) t从a到b 这正是我们在上一个视频上做的 x等于x(a+b-t),y等于y(a+b-t) 同样的曲线,只是不同的方向 t从a到b 我们先来算出导数 我可能会用衍生色 来做dx/dt 这个路径,将会有一点不同 我们现在必须用链式法则做 对应t的导数 这些都是常数 负t对t的导数是负1 所以等于负1乘以 外部相对于内部的导数 这就是x(a+b-t)的一阶导数 或者,我们可以重写为 这只是-x(a+b-t)的导数 dy/dt, 同理 里面对t的导数是负1 对吧 负t的导数就是负1 乘以 外部对内部的导数 所以y(a+b+t)的导数,就等于 和-y(a+b+t)的导数 给定所有这些,这个积分等于什么 负c的纯量场f的积分f(x,y)ds等于什么 这个将等于多少呢 好吧,这个积分等于,您几乎可以用模式匹配它 t等于a到b f(x) 但现在x不再是x(t) 现在是x(a+b+t) 有点复杂,但我不认为 这里有什么突破性的 希望没有让您感觉疑惑 同样的, y不在是y(t) 而是y(a+b-t) 然后再乘以a的平方根 乘以dx/dt的平方的平方根 dx/dt的平方是多少 dx/dt的平方就是这个的平方 或者就是这个的平方 如果我有任何负数的平方 也就是它自己的平方,对吧 这等于负x(a+b+t)的导数的平方 这和x(a+b+t)导数的平方 是一样的,对吧 当您把它平方时,负号没有了 这等于x(a+b-t)的导数的平方 是整个函数的平方 加上dydt的平方 同理,这里也是当平方发生 负号没有了 y(a+b-t)的导数的平方 我来把根号延长一下 然后加上dt 这是曲线c上的线积分 这是曲线负c上的线积分 现在它们看起来并不一样 这个看起来比那个复杂得多 我们来看是否可以把这个简化 我们大概可以用替代 来把它进行简化 我来用一个更好的颜色来替代 假设u等于a+b-t 我们首先需要确定 我们积分的边界 实际上,我们先来算du等于多少 du/dt就是u对于t的导数 就等于负1,或者我们可以说du 如果我们在2边同时乘以微分dt 就等于负dt 让我们找出整合的边界 当t等于a, u等于什么 u等于a+b-a,就是b 而当t等于b,u等于a+b-b 就等于a 所以如果我们在看似复杂的区间做一下替换 就简化了一点,积分区间就变成了 一样的区间的积分 当t等于a,u就是b 当t等于b,u等于a 那么f(x) 在这里就是x(u) 所以就简化了很多 而y呢,这里就成了u y(u) 乘以平方根---我用一样的颜色来做 乘以x(u)的导数的平方加上 y(u)的导数的平方 之前的dt,我们要写a,或者可以写,如果 我们把两边都乘上负号,我们得到dt 等于负du 所以我们得到了负du来代替dt 所以这个就变成乘以负du,或者,我么不把它想成 为一个替换,我们就把负号 放在前面,就像这样 所以我们从b到a,就像这样 为了让积分的边界更合理一点 因为我们知道a小于b 让我们交换它们 我在视频一开始就说过 如果你有从b到a的f(x)dx,或du 或许我写成这样 f(u) du 这个就等于负的 f(u) du在区间a到b的积分 我们是按照我在这里画的逻辑来做的 在这里,当你改变顺序时,du会变成 自己的负数,当你想象出来的时候 当你真正找到曲线下的区域时 我们就来这么做 让我们在这里交换整合的边界 如果我这么做,就会负负得正 对了,变成正值 所以这就等于从a到b的积分 我去掉了负号 因为我把这2个进行了交换 我用负负得正的方法 得到了正值 f(x(u),y(u))乘以x(u)的导数 的平方加上y(u)的导数的平方,再开平方根,然后再du 现在要记住的是,我们仅仅只是做了替代 这都是平等的,只是为了记住我们在做什么 这是我们的纯量场f的负曲线 的积分,f(x,y)/ds 现在,这和我们取规则曲线的时候相比怎么样 这个和那个又是怎么样的呢 我来复制粘贴 我用错了工具 我来用复制粘贴来比较 复制,然后选这里来编辑,再粘贴 那么这两件事比较起来如何呢 让我们仔细看看 他们看起来很像,对吧 在这里,对于负曲线,我们有很多u 在这里,对于正曲线,我们有一堆t 但它们在完全相同的地方 这些积分是完全相同的积分 如果你在这里做一个u-代换 如果您只做一个u等于t的代换,这个东西将是 从a到b的积分,它将是 完全相同的东西 f(x(u),y(u))乘以x(u)的导数的平方 加上y(u)导数的平方再开平方根 这2个是完全一样的 所以我们做了所有的替换 得到了完全一样的积分 希望这能让您满意,不管我们 沿着什么方向走 只要曲线的形状是一样的 不管我们在曲线上前进还是后退,我们 都会得到相同的答案 我认为这符合我们的直觉,因为在任何 一种情况下我们都能找到窗帘的面积