使用线积分计算功

我们要把我们在上一个视频中学到的知识 用于一个具体的例题，求关于矢量场对某个 沿着某种路径运动的物体所作的功。 我们有一个矢量场， 它定义在在二维空间 R2 的 x-y 平面上。 它是 x 和 y 的函数。 它把一个矢量和平面上的每一个点关联起来。 我的矢量场是 y 乘以 单位矢量 i 减去 x 乘以单位矢量 j， 如果我们画出它的图像，你可以想象， --我来画我们的 x 轴和 y 轴， 我在这里画。 我们画出 x 轴和 y 轴， 它把一个矢量，一个力矢量 --我们说这是一个力矢量-- 和 x-y 平面上的每一个点关联起来。 这是 x ，这是 y 。 如果我们是在这个点，比如 （1，0）， 和这个点关联的矢量是什么样呢？ 在 (1，0)，y 是 0 ，它就是 0i -1j， 就是这个样。 负的1j，就是这样的。 在 x = 2 --我随机地取某一点， 取比较容易的点-- y 还是 0 ，现在 这里的力矢量是负的 2j。 它就是这样， 负的 2j。 是这样的。 类似情况，如果我们到这里， y = 1，x = 0， 当 y = 1 我们有 1i - 0j， 所以，我们的矢量 在这一点看起来是这样的。 如果你到 2 这一点--你也可以得到一个图像， 你可以一直这样画出这些点， 你只是想对这些矢量的样子有一个感觉， 如果你到这里，矢量看着是这样， 或许你到这一点， 矢量看起来是这样。 我想你们明白了一般概念。 我可以一直 把整个矢量场填满。 我要让它对称，如果我在这里， 这个矢量就是这样。 你知道我的意思了。 如果需要，我可以把所有这些点都填满。 现在，在这个场中，我有某个颗粒在移动， 我们说，它的路径由这个曲线 c 来描述， 它的参数方程 就是 x(t) = cos(t) y(t) = sin(t)。 路径发生在 t 大于等于 0 小于等于 2π。 你可能已经认出这是什么， 这个参数方程实际上 就是一个逆时针的圆。 这个路径 从这里出发， 好，你可以想象，这里 你几乎可以认为 t 就是这个圆的角度， 你也可以把它看成时间。 在时间等于 0，我们就在这里， 然后在时间 π/2，我们已经 移动到圆的四分之一， 我们向这个方向移动。 在时间过了π秒 之后， 我们已经到了这里。 一直到 2π 秒之后， 我们就已经围着圆转了一圈。 这样，我们的路径， 就是围绕这个圆，逆时针转一圈。 那么这个场在这个曲线上所做的功是什么？ 它所做的功， --我们已经在前一个视频学过，-- 就是沿这个场的一个路径， 这个矢量场与我们的位移微分的点积的线积分。 它点乘我们的位移微分 dr， 我还没有定义 r 呢， 我只是在这里给出了参数方程， 我们需要给出矢量方程。 我们需要用 r 来定义这个路径。 这只是一个标准的参数方程， 如果我想把它写成，对于 t 的矢量函数， 我们就要写成 r(t) 等于 x(t) 也就是 cos(t) 乘以 i， 加上 y(t) 乘以 j，也就是 sin(t) 乘以 j ， 同样， 它对于 t 大于等于 0 ， t 小于等于2π 成立， 它们是等价的， 我为什么要费劲把它写出来的原因 就是我可以对矢量函数求导， 然后找出它的微分，然后就能 求他和这些项的点乘了。 我们来一起走全过程， 计算线积分然后得出这个场做的功。 你心里可能已经有了疑问， 我们要逆时针移动， 但是在路径经过的每一个点， 看着这个场的方向 和运动方向相反。 比如，这里我们向上走， 而场把我们向下拉， 这里，我们向左上方走， 而场要让我们向右下方。 这里，我们完全是向左走， 而这个场把我们拉向右边。 看起来，这个场做的 与我们要做的正相反， 它在阻碍我们的运动能力。 我要给你们一点直观的解释， 这和负功有关。 比如，我要让一个物体离开地面而升高， 我必须施加力以克服重力， 我是在做正功， 而重力是在做负功， 这里，我们要做一些数学 让你们对这个方法有所了解， 想一想后面会发生什么其实是很有趣的。 这个场就是--这个我用粉色画出的场， 我还是保持这个颜色。-- 这个场推动它向这个方向， 它总是和运动方向相反。 我们就来做数学， 这样，我们在上一个视频中做的运算就会更加具体了。 我们就从 求位置矢量函数对于 t 的导数开始做起。 我们有 dr/dt， 我们也可以写成 r'(t)。 它等于 x(t) 对 t 的导数， 就是 -sin(t) 乘以 i ，加上 y(t) 对于 t 的导数， sin(t) 的导数就是 cos(t)， cos(t) 乘以 j 。 如果要求微分，我们 只需要把每一项乘上 dt，我们就得到 dr 等于 --我们这样写-- 我们甚至可以 -- 我还是做一遍-- 它就是 -sin(t) dt -- 我只是把这些项都乘上 dt，乘法分配律-- 乘以单位矢量 i 加上 cos(t) dt 乘以单位矢量 j 。 这样，我们就有了它的表达式。 现在，我们要把它和这里的矢量进行点乘。 但是，让我先把我们的矢量场 写成 t 的函数， 我们的矢量场在任何时间 t 是怎样的呢？ 我们不必考虑每一点， 我们不必考虑比如说这一点， 这一点的矢量场会是这样， 因为它不在我们的路径上， 那个力，不会对我们的颗粒产生任何影响。 我们只关心沿着我们的路径，矢量场发生什么作用。 我们可以找到一个函数，然后将 y 和 x 代入， 这里 y 和 x 都是 t 的函数， 这样，我们就有了 在任何时间 t 的矢量场中的力， 我们来做一下。 这里这一项，如果我们向把它写成 t 的函数， 它就等于 y(t)，对吧？ y 是 t 的函数，它是 sin(t)，对吧？ sin(t) 乘以 i 加上 --其实是减去 x ，x(t)， x 是 t 的函数， 所以就是 减去 cos(t) 乘以 j 。 现在，所有这些看起来 容易一些了。 如果我们要求出这个线积分， 它就和下面的积分一样 -- 我来选一个好的看着舒服的颜色， 这个挺好， f 点乘 dr 的 从t=0 到 t=2π 的积分。 在你求它们的点积时， 你只需要把相应的分量相乘，然后加起来。 我们求 -sin(t) 和 sin(t) 的积， 或者说 sin(t) 和 -sin(t) 的积 dt ， 你就得到 -sin(t)平方 dt ， 然后，你用它加上 我把这个 dt 写得清楚一点， 它看着很难看-- dt ， 然后，你加上 这两项相乘， 这里有一个负号，那么这个加号 我来把它变成减号， 减去 cos(t)平方。 如果我们提出一个负号和一个dt， 它等于什么？ 它就等于 从 0 到 2π 的积分 sin平方，--我要放上 t ，-- sin(t)平方 + cons(t)平方， 实际上，我把负号提出来放在前面， 我们把负号提出来，这里放上负号， 这里就是正号了。 把负号提出来，再把 dt 提出来， 我再这里做了几步，但我想你们能明白。 这里，就是在做代数， 把负号提出来，这里就成了正号。 然后，再把 dt 提出来， 你就得到这个结果。 如果上面的推导让你困惑的话，你可以把它乘出来， 你就能得到它原来的表达式。 我之所以这样做，因为我们知道 某个角的 sin平方加上这个角的 cos平方等于什么。 它就是我们的三角函数对单位圆的定义， 它就是 1。 所以，我们整个的积分已经简化为 负的 dt 从 0 到 2π 的积分。 它就是 --我们过去见过的-- 我们可以说，这是 1， --如果我们想在这里写上它-- 这样，1 的反导数就是 --它等于负的--这个负号就是我们一直 延续下来的负号-- 1 的反导数就是 t ， 我们要从 2π 到 0 ，或者从 0 到 2π 计算它的值 它就等于负的 --就是这里的负号，-- 2π 减 t 在 0 的值，也就是减 0 ， 它就等于 -2π。 这就是你得到的答案。 我们找到了这个场在这个颗粒上做的功， 也可以是别的任何 以这种逆时针方式进行运动的物体。 我们的直觉是对的， 对于它做的功，我们实际上得到了一个负的数值， 这是因为，在所有的时间， 这个场实际上是总是相反的，也就是总是在反抗它的运动， 我们认为这个颗粒 是逆时针方向的运动。 希望你们觉得这对你们有所帮助。