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线积分示例1

使用线积分的具体示例. Sal Khan 创建

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视频字幕

上个视频比较抽象,我用了许多代数 表达方式,如 f(x), g(t), h(t) 等 在本视频里我要举些实例来说明 假设 f 为 x y 的函数 假设 x y 的函数 f 等于 x y 假设在 x y 平面上 有一路径或有一曲线 我把这条曲线定义为 x 等于 t 的余弦函数, y 等于 t 的正弦函数 我们必须确定 t 变量的范围, t 就应该大于等于 0, 因为 t 的单位是弧度, 所以 t 小于等于 π/2。 如果 t 的单位是度,t 的上限就是 90 度。 因此这就是我们的曲线。 你立刻可以看出 这条曲线的样子。 我要把它的草图 画一下让大家看看。 我实际上已经事先画过这个曲线图, 这样我们就能很快把它画出来。 对于这条曲线,如果画在 标准的 x y 平面上 - 换一种颜色以示区别, 可以用绿色;假如这是 y 轴, 而这是 x 轴 - 这样当 t 等于 0 时, x 就等于 0 的余弦函数。 0 的余弦函数等于 1,而这时 y 等于 0 的正弦函数, 就是 0,因此这就是 t 等于 0 在 x y 平面上的点 这一点就是 x 坐标等于 1 即 0 的余弦函数,y 坐标 等于 0 即 0 的正弦函数, 位置在这里。 这是 t 等于 0 对应的点 如果 t 等于 二分之 π,情况怎么样? 角度二分之 π 的余弦等于 0 角度二分之 π 的正弦等于 1 所对应的点坐标为 0,1 这就是 t 等于二分之 π 时的情况 你可能已经发现我们所画的实际上 是单位圆的第一象限;比如 t 等于四分之 π 或 45 度时,对应点的横纵 坐标都是二的平方根除以 2。 你可以自己把每一点的坐标都算出来, 总之我们就会得到一条这样的曲线。 这将是一个单位 圆周的右上部分。 它的半径等于 1。 沿着这个方向,从 t 等于 0 到 t 等于 π/2 这就是该曲线的样子 可本视频的目的不是画出一个参数方程 我们要画的是在 x y 平面上这条曲线上的每一点 所对应的 f(x, y)在三维空间上的点 我们要试一下看能否直观地得到这一点,我们 将用到上一个视频里用过的做图工具 这里我用该软件画了这个函数的三维图, 还把这个图绕 z 轴做一点旋转, 这样你可以从不同的角度看到该图 在这里 - 我要用深的颜色来标识 - 这里 是 x 轴,后面的是 y 轴, 纵向的是 z 轴。 这一点 x 坐标为 2,它的一半的位置 x 坐标为 1,y 坐标 等于 1 的位置在那里,因此这就是该函数的三维函数图。 如果画出这个三维的曲线在 x y 平面上的投影, 它应该在这个曲面的下面,就象 这样 - 我试着把它标出来 - 应该 就象这样 这应该在 z 等于 0 的 x y 平面上。 这还是那个函数图,f 函数等于 x y 这就是变量 x 和 y 的函数 f 等于 x y 这两幅图表示的是同样的函数,这是观看的角度不同 这个图里现在 x 轴在这里 你可以看得出我只是把原图向左边旋转了一点点 这里是 x 轴,那里是 y 轴 - 旋转以后它离我更近了 - z 轴在这里 这条投影到 z 等于 0 的平面上的曲线,如果画在旋转了的坐标系中(右图), 就是这样:t 等于 0 时,x 坐标 等于 1,y 坐标等于 0,而这个 投影是一个单位圆的四分之一 当 t 等于二分之 π 时,该投影上对应的点在那儿 我们要做的就是求出 所定义的垂帘的面积 这个垂帘就是从投影到 z 等于 0 的平面上 的曲线连接到 f 函数所对应的点 如果我们把这些对应的点都连接起来, 就构成了一面象这样的墙 我要把它加深颜色, 看起来更显眼 这面墙就是这样的 如果我要在左边的图画这面墙, 它在 f 函数的曲面之下, 就象那样 我们要计算那面墙的面积 我们要计算的面积,它的底 是在 z = 0 的面上由那个参数方程所定义的曲线,而它的顶 在 f 函数的曲面上和底对应的曲线,我在两个 不同的角度都画出来了 在上个视频里面,我们提到过 这么个方法,不见得是最简便的,就是取 很小的一段底边上的弧长 - 即弧长的变化,把它乘以 该墙在那一点的高度 这个小段的弧长可称为 d s, 而墙的高度就是 f 函数在该点的函数值 而如果我们计算无限多个小弧长乘以墙高的和,从 t 等于 0 到 t 等于二分之 π,就能得到 该墙的面积 我们说过要算出这个面积只需要 从 t 等于 0 到 t 等于 二分之 π 进行积分 - 如果我只是这么写 就不是很明白 -f 函数乘以 - 要不然 我干脆把实际的函数表达式写出来 我们就具体来写出该表达式 所以 f 函数就是 x y 再乘以 该点弧长的微元 这里我要简略一点 这只是上个视频的简单回顾 在上个视频里,我们得出弧长的微元 ds 可以写成 x 对 t 的导数的平方 加上 y 对 t 的导数的平方的和 的平方根再乘以 d t 我刚才只是把上个视频 所得到的公式重新写一下 这样这个式子就可以写成从 t 等于 0 到 t 等于二分之 π 对于 x y的积分 但是转念一想, 我们终究要把所有的 变量以 t 来表示 因此我们不再写 x y, 而是用参数表达式代入 所以 x 变量以 t 的余弦来表示 这就是 x 这条曲线上 x 等于 t 的余弦函数 这就是我们以 t 来表示 x 的方式 然后要乘以 y,我们知道它等于 t 的正弦函数 这就是 y;我只是把 x y 以 t 来表示, 再乘以微元 d s 刚才说过 d s,它等于 x 对 t 的导数的平方 加上 y 对 t 的导数 的平方的和的平方根 再乘以 d t。 现在我们得找出这两个导数 看起来复杂,其实求 x 对 t 的导数及 y 对 t 的 导数挺容易 我可以就在这里做出来 我现在暂时不看图 我们知道 x 对 t 求导 是什么:t 的余弦的导数是什么? 它就是负的 t 的正弦 y 对 t 求导得到什么? 任何变量的正弦的导数为 该变量的余弦 因此它就是 t 的余弦 而我们可以把这些变量代回这个式子 别忘了我们只想求出这面墙 的面积,在 z = 0 面上的这条曲线是它的底,而 在该函数曲面上的曲线是它的顶 这样我们回到下面, 把式子重写一下 因此这就成了从 t 等于 0 到 t 等于 二分之 π 对于 t 的余弦 乘以 t 的正弦 - 就是 x 乘以 y - 再乘以 d s,就是这个式子的积分。 现在可以这样写 - 我把 颜色换一下 -x 对 t 的微分等于 负 t 的正弦,把它平方以后再加上 y 对 t 的微分,就是 t 的余弦,再 把它平方 - 我把这个平方根号写 大一点 - 然后所有这些再乘以 d t 现在这看起来还象一个很复杂的积分, 但是因为这里有一个平方,正弦函数 前面的负号就没有作用 我在旁边重新写一下 负的 t 的正弦的平方加上 t 的余弦的平方,就 等同于 t 的正弦的平方 加上 t 的余弦的平方 因为平方,这一项前面的符号就失去作用了; 它就成为正值 所以这两个式子等同 而这是最基本的三角函数恒等式 从单位圆的定义可直接得到该恒等式;某数 正弦的平方加上其余弦的平方,刚好等于 1 因此平方根号下面的 所有东西等于 1 1 的平方根还是等于 1 所以这里的所有的东西就等于 1 所以这个看起来复杂的积分化简了不少, 就等于一个积分,下限是 t 等于 0,上限是 t 等于 二分之 π - 我把里面的项调整一下 让下一步简单些 - t 的正弦乘以 t 的余弦再乘以 d t 我刚才所做的就是把这一部分用 1 取代, 并且把这两个因式的次序调换 这样下一步就容易解释了 现在这个积分 - 正弦乘以余弦, 它的原函数是什么? 首先你也许已经看出来,这里有 一个函数,还有一个它的微分 t 的正弦的导数就是 t 的余弦 有的人可以自动在脑子里做 U 换元积分; 这当然是一个好的技能 这里我要按部就班地演示这个过程 如果有一个可导的函数, 假设它是 U 所以 U 等于 t 的正弦,而 U 对 于 t 的导数等于 t 的余弦 如果你对这个微分式子的 两边乘以 d t,可以得到 dU 等于 t 的余弦乘以 d t 请注意这里有个 U 还有 t 的余弦乘以 d t, 它就是等于 dU 然后我们得重新确定积分的上下限 这个积分式子得重写一下, 对应于 t 等于 0, U 等于多少? 0 的正弦等于 0,所以积分下限为 U 等于 0 如果 t 等于二分之 π,二分之 π 的正弦等于 1 因此 t 是二分之 π 的话,U 就是 1 所以对变量 U 的积分是 从 U 等于 0 到 U 等于 1 刚才只是确定对于变量 U 的积分上下限 现在我们把 t 的 正弦写成 U 而且把 t 的余弦乘以 d t 写成 dU 这是对于 U 变量积分就很容易 积分结果就是 U 的原函数,等于 1/2 U 平方 - 把指数增加 1并且 除以增加了的指数 - 我们将把上下限 0 到 1 代入 1/2 U 平方来计算 这就等于 1/2 乘以 1 的平方 减去 1/2 乘以 0 的平方,就是 1/2 乘以 1 减 0 等于 1/2 所以经过这些步骤得到一个简单的答案 我们做了一个线积分, 得到沿着这条曲线的最后面墙的 面积 - 我该用深的颜色 - 等于 1/2 如果长度单位是厘米,这个 面积就是 1/2 平方厘米 这就是线积分的 直接应用的例子