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多变量微积分

课程: 多变量微积分 > 单元 4

课程 10: 曲面积分（文章）

曲面积分示例

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练习计算球体上的曲面积分。

背景知识

曲面积分

当前任务：球体上的曲面积分。

在上一篇文章中, 我谈到了曲面积分的作用以及如何理解它们。在这里, 您可以看到一个示例的详细演示。如果你更喜欢看视频, 你也可以看另一个示例。

想象以原点为中心的半径为 2 的球体。

你的任务是对球体的曲面用下面这个函数进行积分：

f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared

步骤 1: 利用球体的对称性

根据定义，一个半径为 2 的球体在三维空间中的所有点满足以下属性：

x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, equals, 2, squared

这个表达式与函数非常相似：

f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared

实际上，我们可以利用这一点……

概念检查 ：当你将恰好在半径是 2 的球体上的点代入 f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared 时，你能得到什么更简单的表达？

[答案]

请记住，f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis 并不在所有地方等于这个简单的表达式，只有在满足 x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, equals, 4 的点上才相等。不过，由于我们只对这一球体上的点进行积分，因此我们可以合理地将积分中的函数 f 替换为此值。

$\begin{aligned} \iint_{\text{球体}} \Big((x-1)^2 + y^2 + z^2 \Big) \,d\Sigma = \iint_{\text{球体}} (-2x+5)\,d\Sigma \end{aligned}$

当然，这不适用于所有曲面积分，但这是一个很好的示范，学会利用对称性可以让这些积分变得更容易。

步骤 2: 参数化球体

为了将这个曲面积分与平面上的二重积分联系起来，首先需要找到一个将球体参数化的函数。

概念检查 ：以下哪个函数将半径为 2 的球体参数化了？

选出正确答案：
(选择 A)
$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t)\sin(s) \\ 2\sin(t)\sin(s) \\ 2\cos(s) \end{array} \right] \end{aligned}$
定义域为 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi 且 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, pi。
(选择 B)
$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t)\cos(s) \\ 2\sin(t)\sin(s) \\ 2\sin(t)\cos(s) \end{array} \right] \end{aligned}$
定义域为 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi 且 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, 2, pi。

[答案]

好！现在，我们有了一个公式 start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis 来表达参数化的球体以及 t, s 平面上的相应区域。我们可以开始扩展曲面积分了，如下所示：

$\begin{aligned} &\quad \iint_{\text{球体}} (-2x+5)\,d\Sigma \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \left( -2 \underbrace{ (2\cos(t)\sin(s)) }_{\text{$x$ 参数化的值}} +5 \right)\, \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial s} \right| }_{\text{我们需要把这个算出来}} \!\!\!\!\!\! \,dt \,ds \end{aligned}$

步骤 3: 计算两个偏导数

任何曲面积分最难的部分是下面这个表达式：

$\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial s} \right| \end{aligned}$

概念检查 ：首先，计算参数函数的两个偏导数：

$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t)\sin(s) \\ 2\sin(t)\sin(s) \\ 2\cos(s) \end{array} \right] \end{aligned}$

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[答案]

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[答案]

步骤 4: 计算叉乘

计算刚得到的两个偏导数向量的叉乘。

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, s, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[答案]

步骤 5: 求叉乘的大小。

找到叉乘的大小。

open vertical bar, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, s, end fraction, close vertical bar, equals

[答案]

注意，严格来说，答案中应该有一个绝对值符号。但是。由于参数化仅适用于 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, pi 的区域，sine, left parenthesis, s, right parenthesis 的值无论如何都始终为正数，因此可以不加绝对值。

步骤 6: 计算积分

将前面所得整合一下，曲面积分就变成了下面的样子：

$\begin{aligned} &\quad \iint_{\text{球体}} f(x, y, z)\,d\Sigma \\\\ &= \iint_{\text{球体}} (-2x+5)\,d\Sigma \quad \leftarrow \text{步骤 1} \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-2(2\cos(t)\sin(s))+5\Big)\, \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial s} \right| \,dt \,ds \quad \leftarrow \text{步骤 2} \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-2(2\cos(t)\sin(s))+5\Big)\, (4\sin(s)) \,dt \,ds \quad \leftarrow \text{步骤 3, 4, 5} \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-16\cos(t)\sin^2(s)+20\sin(s) \Big) \,dt \,ds \end{aligned}$

最后一步，计算这个二重积分。

$\begin{aligned} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-16\cos(t)\sin^2(s)+20\sin(s) \Big) \,dt \,ds = \end{aligned}$

[答案]

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