计算曲面积分示例 第1部分

几个视频之前我们看到， 如何参数化一个环形曲面， 也就是甜甜圈形曲面， 把它写成含有两个参数的位置向量函数。 这是我们的结果。 用了好几段视频得到这个结果， 它比较棘手。 我先写出这个位置向量函数， r 是关于 s 和 t 的函数。 我们回顾一下各参数—— s 和 t 是什么，a 和 b 代表什么。 它等于 b 加上 a 乘以 s 的余弦。 我们在前几个视频里见过这个， 所以你可以再复习一下前几个视频， 看如何用两个参数表示这个曲面， 如何得到这个结论。 再乘以 t 的正弦。 我打算把 s 项和 t 项用不同颜色区分开。 再乘以单位向量 i。 我用桔色表示向量， 表示单位向量。 加上——还用同一种黄色。 加上 b 加 a 乘以 s 的余弦， 再乘以 t 的余弦乘以单位向量 j ——这是 y 方向的单位向量。 加上 a 乘以 s 的正弦乘以单位向量 k， 这是 z 方向的单位向量。 因为这是一个圆环，甜甜圈形， 所以参数应该是 ——我们只绕一圈—— s 介于 0 到 2π 之间，且 t 也介于 0 到 2π之间。 稍微做回顾一下，这就清楚了—— 我们在前几个视频的基础上， 开始本视频的工作。 我们先复习一下这结论从哪来的。 我先画一个甜甜圈。 我用最大努力画一个甜甜圈， 这是个甜甜圈形，或圆环。 可以想象，一个甜甜圈形 由两个圆生成。 该甜甜圈在某一点的横截面是一个圆。 比如这个横截面。 当然也可以是那个横截面。 然后有一个大圆，它穿过所有的横截面小圆， 或者说所有小圆都穿过它。 我们推导出的这个式子中， a 表示这些横截面小圆的半径。 这就是 a。 这就是参数 a 的意思。 而 b 表示从甜甜圈的中心 到这些横截面小圆圆心的距离。 这就是 b。 可以想象，这些横截面的中心构成一个大圆， b 就是大圆的半径。 而 a 是横截面小圆的半径。 在这个公式里， 参数 s 实际上表示—— s 表示在这个小圆里绕了多少。 它是一个角度，取值从 0 到 2π 之间。 而 t 表示在这个大圆里绕了多远。 可以想象，这个甜甜圈上的任何一点， 都可以通过特定的 s 和 t 的取值来确定。 所以我们才会这样来参数化曲面。 我在这里复习这些以前学过的内容， 是因为我们要用这个式子来 真正计算一个曲面积分。 这个曲面积分可以计算出 这个甜甜圈的表面积。 这个曲面是 Σ， 它可以用这个位置向量函数表示。 它由这两个参数决定。 如果我们要计算表面积， 把它写成曲面积分，我们在—— 我想想，上一个向量微积分视频中， 我们见过，这是一个曲面积分。 这个大写的 Σ 不表示求和， 它表示所有的小 dσ， 所有的小面元的积分。 回忆一下，每个 dσ 都是曲面上的一个小块， 这是一个 dσ， 这是一个二重积分， 因为我们要把所有 dσ 从两个方向上加和起来。 这是环面上的一个方向， 这是另一个方向。 所以这是个二重积分。 这只能求出它的表面积， 这个视频和后一两个视频就要讲这个。 如果你还想用这些 σ 乘以别的值， ——比如有个标量场—— 你可以把这个值放在这。 但现在，我们只是乘以 1， 上个视频我们了解到， 这个式子只能表示一个概念， 没法直接计算。 那么如何计算这个积分呢， 它就等于—— 我们在前几个视频里看到过—— 它就等于二重积分， 在参数的取值范围上积分， 这个取值范围，就是 s 和 t 都从 0 到 2π， 里面是积分函数， 这里就是 1，我们把它写上， 或者不写也没关系。 乘以——这是我们学过的， 乘以模运算，里面是 r 对 s 的偏导数， 叉乘 r 对 t 的偏导数，整体求模， 然后 ds—— 顺序无所谓，我就写成 ds dt。 上个视频我们见过， 接下来，我们就要来计算它。 这是本视频的主要任务。 我们来计算这两个向量的叉乘， 我们先计算向量， 下个视频再计算叉乘。 然后再下个视频，就能计算这个二重积分了。 你会看到这些计算非常复杂， 所以只有很少人能计算出一个真正的曲面积分。 不管怎样，咱们干吧。 r 对 s 的偏导数—— 就是这一项。 下个视频我们再计算叉乘， 这一项是什么？ 我们要把 t 看作常数，只计算对 s 的偏导数， 这里，把 sin t 乘进去，乘以 b—— 这一项对于 s 来说就是个常数项， 可以忽略掉。 然后是 sin t 乘以这部分， sin t 乘以 a，是系数， 然后计算 cos s 的导数， 是负的 sin s。 所以它对 s 的导数，对 s 的偏导数 等于 -a —— 我用绿色，sin t，这样清楚些， sin t 然后是 sin s。 它的导数是负的 sin s， 负号是从这里来的。 然后这里写 sin s， 乘以单位向量 i。 这只是 x 分量对 s 的偏导数， 然后同样的方法来处理 y 项，或者叫 j 项。 加上——同样的逻辑—— b 乘以 cos t 对 s 求偏导， 对 s 来说，这是常量， 偏导是 0，所以剩下 a—— 这还是 -a，因为还是对 cos s 求导， 它等于负的 sin s。 好， 这部分等于减去 a， cos t -a cos t， 这是系数， 然后是 sin s， 这就是偏导数。 sin s 乘以 j。 最后，我们还要计算这部分对 s 的偏导数。 这个简单。 它等于 a cos s， 所以再加上 a cos s 乘以 k。 希望你都看懂了。 负的 sin 是因为 cos 的导数就是负的 sin， 所以是负的 sin s， 所以这是负的 sin s 乘以系数， 这也是负的 sin s 乘以系数—— 系数是 cos t sin t。 这就是求偏导数， 不难理解。 我们再来求对 t 的偏导数。 我用另一种颜色， 我们来计算 r 对 t 的偏导数。 r 对 t 的偏导数等于—— 整个这部分都是常数， 所以它等于整个这部分乘以它对 t 的偏导数， 也就是 cos t， 它等于 b 加 a cos s， 乘以 cos t 乘以 i。 然后，加上——实际上应该是减去， 因为如果求它对 t 的偏导数， 会得到负的 sin t。 然后是减去， 我要留一些空间给这一项， 负 sin t， 这个系数还要写上， 对 t 来说这部分是常量。 b 加 a cos s， 这就是这一项， cos t 的导数是负的 sin t 再乘以 j。 然后是这部分对 t 求偏导数—— 这部分是常量。 所以导数是 0。 我写上加 0k。 所有向量用同一个颜色。 加 0 乘以单位向量 k。 这就是我们的偏导数。 然后我们要做叉乘， 叉乘之后求模， 然后再计算二重积分。 我们后面几个视频来做这些。