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主要内容

曲面积分练习 2 第 1 部分

将曲面参数化,可以将曲面明确地用 x 和 y 表达的函数。 Sal Khan 创建

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视频字幕

我们来做另一个面积分。 我已经把符号改变了一下, 我们不用大写的 Σ 来表示表面, 我们用大写的 S 来表示它。我们不用 d 小写的 σ 而用 d 大写的 S , 它还是函数 y 的面积分。 我们要计算的表面是 x + y平方 - z = 0。 x 在 0 和 1 之间,y 在 0 和 2 之间。 这个积分可能 比我们上次做的要简单一些, 至少我希望它会简单一些, 因为我们可以明确地用 x 和 y 来定义 z 。 实际上,我们甚至也可以 明确地用 y 和 z 来定义 x 。 但是我要用另一种方法来做。 这个方法使我能更容易观察它。 如果我把这个方程两边加上 z , 你就得到 x + y平方 = z , 或者 z =x + y平方, 这很简单。 这个表面很容易观察, 或者说,我们可以尽量地去观察它。 如果这是我们的 z 轴,这是我们的 x 轴, 这是 y 轴,我们只关心这个区域, x 在 0 和 1 之间, 这是 x = 1,y 在 0 到 2 之间, 我们说这是 y 轴上的 1 ,这是 2, 实际上,我们只是关心 x-y 平面上这个区域上的表面。 然后,我们要考虑 这个表面是什么样子。 这不是这个表面, 这只是 我们所关心的 x 和 y 的范围。 那么,我们来考虑这个表面。 当 x 和 y 是 0 时,z 是 0, 它应该位于-- 让我用绿色来做, z 就应该在这里, 现在,如果 y 增加而 x =0, 我们就在 z-y 平面上, z 就等于 y平方, 这里是 y=4, 这是 y=2,1,3, z 就是这样的, 它是在 y-z平面的一条抛物线。 它看起来就像这样。 现在,当 y =0,z 就等于 x , 所以当 x 走到 1, z 也走到 1, z 就是像这样的。 这个轴的刻度没有画出,它没有画出刻度, 这里, z 轴 我画的比 x 轴更加拥挤一些, 然后从这一点, 你加上 y平方, 你就能得到像这样的-- 这里是这个点, 而这一个点,当 y =2,x=1 时, z = 5, 它就是这样的。 然后你会得到一个这样的直线, 在这一点,它就在这里。 这就是我们要求解的表面, 也就是在这个表面上, 我们要求函数 y 的积分。 你可以这样想, y 是这个表面的质量密度 当你用 y 乘以每一个 ds , 你就是在求这一个小片的质量, 然后,你要求整个表面的质量。 你可以这样想, 当在 y 方向走得越来越远, 这个东西越来越密, 这一部分的表面 比 y 越来越小时要更密, 这样,它就能给出它的质量, 这样,我们就来计算它。 你们知道,第一步 就是要进行参数化。 它应该相当简单。 因为我们可以明确地用 x 和 y 来表示 z , 那么,我们实际上就可以 x 和 y 来作为参数。 如果我们想用不同的参数代入, 也是可以的。 让我来做一下, 我要让 x = --我要用不同的符号, 不用 s 和 t,我要用 u 和 v , x = u,y = v , z = u + v平方。 这样,我们的表面,如果写成一个矢量位置函数, 或者说位置矢量函数,这个表面 我们用 r 来表示, 它就是 u 和 v 的函数, 它等于 ui + vj + u+v平方 k, u 介于 0 和 1, 因为 x 就等于 u,或者 u = x , 所以 u 就在 0 和 1 之间。 然后,v 就在 0 和 2 之间, 我们今天就到这里, 在下一个视频中, 我们实际求解积分, 今天我们已经把它的参数化做完了。