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曲面积分练习 2 第 2 部分

求曲面积分. Sal Khan 创建

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视频字幕

我们已经做好了参数化, 现在来计算积分。 下一步要做的 就是用 du 和 dv 来表示 ds。 我们过去见到过的。 ds 应该是 r 对于 u 的偏导和 r 对 v 的偏导的叉积的模,乘以 du dv, 首先,我们来计算叉积, 我们用 3 x 3 的矩阵来做。 我就在这里做。 我们来设置一下,我将在这里的行列式中 填写 r 脚标 u 和 r 脚标 v , 首先,我们有分量 i,j,k, 现在,首先看 r 脚标 u ,也就是 r 对 u 的偏导是什么。 好,它的 i 分量是 1, u 对 u 的偏导就是 1, 所以它的 i 分量是 1。 它的 j 分量是 0 , v 对 u 的偏导是 0, 当 u 变化时, v 不会变化 所以这一项是 0, 这里有个括号。 它对于 u 的偏导又是 1, v平方对 u 的偏导是 0, 所以它就是 1, 然后,r 脚标 v,即 r 对 v 的偏导, i 分量是 0, j 分量是 1, u+v平方 对 v 的偏导是 2v, 这是一个很简单的行列式。 我们来计算它的值。 i 分量就是-- 我们划掉这一列,这一行, 它就是 0乘以 2v - 1 乘以 1, 因此,它就是 -1 乘以 i, 我们有 - i, 它等于 -i, 然后,计算 j 分量, 我们必须在前面放一个负号, 记得吧,我们在用棋盘模式。 划去这一行,这一列, 1 乘以 2v 是 2v, 我来确认这个答案, 1 乘以 2v 是 2v,减去 0 乘以 1, 它就是 2v, 因为这是 j 分量, 它应该是负值, 我要确认我做对了。 这一列,这一行,1 乘以 2v 是 2v,减去 0 是 2v, 棋盘模式,是 -j , 这样就是 -2vj。 然后,我们计算 k 分量, 去掉这一行,这一列,1 乘以 1 减去 0 , 它就是 +k, 我们要计算它的幅值, 所有这些就是 根号下-- 我是在计算它的幅值, 计算这个叉积的幅值。 它就是 -1 的平方,也就是 1, 加上 -2v 的平方, 也就是 4v平方 加上 1 的平方, 也就是 1, 所有这些的值就是 -- 我们有 2 加上 2v 平方 du dv , 实际上,我几乎犯了一个错误, 这会是个灾难, 2加上4v平方 du dv, 如果我们愿意, 或许把 2 提出来能有帮助。 这与 2乘以(1+2v平方) du dv 相同, 如果你把 2 提出来, 你就得到 2的平方根乘以 (1+2v平方) 的平方根 du dv 现在,我们可以计算面积分的值了。 我们来做一下。 好的, 我把它写在这里, 我要把所有与 v 有关的项 用紫色来写, 我要把 ds 部分写在这里, 它就是 2 的平方根,乘以 (1+2v平方) 的平方根 后面有 du 我用绿色写,du , 然后 dv 。 这只是 ds 部分。 只是 ds, 现在我们这里有 y , y 就等于 v,好的,所以我用紫色来写。 y 就等于 v,它就是 y ,我要非常清楚这一点, 所有这些是 ds, 现在,我可以写出 u 和 v 的上下限, u 这部分,u 和 x 是相同的, 它从 0 到 1, 然后 v ,v 和 y 相同, y 在-- u 在 0 和 2 之间。 现在,我想我们可以计算了。 u 和 v 没有混合在一起, 实际上我们可以把它分成两个积分, 使它成为两个单独积分的积。 首先,如果我们看,它对于 du, 这些紫色的项对于 u 来说就是常数, 所以我们可以把它从 du 的积分中提出来。 我们可以把所有这些紫色的项从 du 积分中提出来, 这样,这个二重积分就简化成了-- 从 0 到 2 的积分--我把它写成 2 的平方根 乘以 v 乘以根号下 1+ 2v平方。 我把所有这些项提出来, 你就有 乘以 du 从 0 到 1 的积分。 然后乘以 d -- 然后还有 dv。 现在,如果这很复杂, 我可以说,它只是 u 的函数, 对 v 来说,它是个常数。 你可以把它们全都提出来。 把两个积分分开。 这更简单。 这个积分的值就是 1, 所有这些就等于 1, 这样我们把它简化成了单个的积分。 它就简化成-- 我甚至可以把 2 的平方根放到前面-- 根 2 乘以 v 从 0 到 2 的积分 v 乘以 根号下 1+2v平方 dv, 现在我们真的可以 比较轻松地计算这个面积分了, 这是很基本的算法, 实际上有点 u 换元法, 我们可以想到它。 如果我们有一个函数,或者说这里是一个复合函数 1+2v平方, 1+2v平方 的导数是什么? 好, 它是 4v, 这里,我们有一项几乎就是 4v, 我们可以通过乘以4 让它成为 4v, 然后外面除以4, 这不会改变这个积分值。 现在这里的部分, 就可以很简单地求出反导数, 它的反导数就是-- 这里,我们有这个复合函数的导数, 我们就可以把它当成一个 x 或者 一个 v 来处理。 我们要求出这一项的反导数。 我们就得到 (1+2v平方)的 1/2 次方, 我们让指数加 1,它就成为 (1+2v平方)的 3/2 次方, 然后要除以 3/2,或者说 乘以 2/3, 乘以 2/3, 这就是它的反导数。 然后,当然你还有这些项在前面, 2的平方根除以4, 我们要算出它从0 到2 的值。 实际上,为了简化,我提出 2/3, 我们计算 2 和0 的时候不必考虑它, 这样,我提出 2/3,乘以 2/3, 实际上,它们消掉了。 它成为 1, 它成为 2。 剩下的就是 --这里这一项是 1/6 乘以, 如果我们计算 在 2 点的值, 它就是 2 乘以 4 就是 8, 加上 1 就是 9,它的 3/2 次方。 9你的1/2 次方是 3,3的3次方是27, 它就等于 27, 然后减去它们在 0 点的值, 在 0 点的值就是 1, 1 的3/2次方是1,所以减去 1, 这就给我们 -- 奥,我差点翻一个错误, 这里应该是根 2, 根2 除以 6 乘以 (27 -1), 击鼓庆祝吧, 这就给出了我们的表面积分值, 我们看,27-1 就是 26, 我们有 26乘以根2/6, 我们可以进一步简化一下, 分子分母同除以 2, 你就得到了 13 乘以 根 2除以 3。 我们做完了!