曲面积分练习 3 第 1 部分

我们来做另一个面积分。 我们这次要关心的表面， S，是这个形状的外面， 你能看到， 我们可以把它分解成三个不同的表面。 第一个表面是它的底部， 它是一个填充满的单位圆， 第二个表面，用蓝色表示的， 你可以把它看作它的边， 你可以把它看成是一个圆筒的边。 但是这个圆筒被一个平面截断了， 这个截断它的平面 就是 z=1-x 。 很明显，这个平面超出了这个形状， 但是这个平面截断了这个圆筒， 从而定义了这个形状。 这样，蓝色的表面处于单位圆边界的上方， 而在这个平面的下方。 然后，第三个表面就是 这个平面，这个紫色平面的子平面， 它定义为 z = 1- x，它与圆筒重叠， 形成了圆筒的顶部。 这样，我们可以把这个面积分 重写为三个表面积分的和。 它就是 在 S1上 z 的面积分 加上 在 S2上 z 的面积分 再加上 在 S3上 z 的面积分 . 我们可以分别计算它们。 我们从表面 S1 开始。 你或许马上就想开始进行参数化 和其余的运算，但是实际上还有一种非常快捷的方法 来处理这个表面积分， 特别是 z 的面积分。 在这个表面上， 就是这个填充的单位圆表面上，z 的值是什么？ 这个表面在 x-y 平面， 我们在 x-y 平面上， z =0， 所以，对整个表面， z 都等于 0， 你是在对 0 积分， 0 乘以 ds 就是 0 ， 所以整个的积分就是 0 ， 所以这是表面积分 最简单的情况了。 能够保持对这类问题的观察 总是非常重要的。 这样，你不至于陷入无谓的努力之中-- 这可能不是无谓的努力， 你会最终得到答案， 但是，你没有必要浪费这么多时间 去进行参数化和所有其余的运算。 现在我们来解决另外两个表面， 我们先做表面 S2， x 和 y 的值，有效的 x 和 y 值 就是那些沿着这里的单位圆的 x 和 y 的值， 我们可以用 对单位圆的传统的参数化方法对它进行参数化。 我们设 x = 我们的半径为 1，所以 x= cos -- 我用参数 u -- x=cos(u)， 然后，设 y=sin(u)， 而 u 是在正向 x轴 和单位元上任何一点之间的角度。 就在这里，这个角度就是 u 。 这就是 u ， u 介于 0 和 2π 之间。 就是沿着这个单位圆， 这些就是 我们可以得到的可能的 x 和 y 的值。 z 的数值就是从这个边界向上 直到这个表面。 这很有意思，因为 z 的值 显然可以有很多值， 但是它必须在这个平面的下面。 对这些 z 值，我要引入一个新的参数， 我们叫它 v， v 一定是大于 0， z 和 v 是相同的， 它们总是正值。 它们一定大于等于 0， 但是，它却不是小于等于一个常数， 这相当有一个变化的天花板。 它总是小于等于 这个平面。 我们可以说，它小于等于 1-x， 我们可以说--我们知道 z 小于等于 1-x，但是如果我们采用新的参数， v 就是 z， 1-x 与 1-cos(u) 是相同的。 这样，我们就有了参数方程。 我们现在可以求表面积分的值了。 要求出答案，我们首先求叉积。 我们要找到 dS 是什么， 我们必须求出 这些参数方程对于 u 的偏导 和对于 v 的偏导的叉积的幅值。 我们把这些都写出来。 而不是过于简略。 dS，我把它们都用蓝色来写， 因为我们是在讨论表面 S2， dS 就等于我们的参数方程 对于 u 的偏导和 参数方程对 v 的偏导的叉积的幅值 乘以 du dv 。 我们写出参数方程 对 u 的偏导， 你会说，等等，我们的参数方程在哪里？ 它就在这里。 我只是没有把它们写成传统的 i，k，j 形式， 但是我可以写出来。 我可以写成 r 等于-- 我还是叫它 r2，因为我们是在讨论表面 S2， 我不应该用橘黄色。 因为它是用于表面 S1的， 我还是用蓝色。 表面 r2 等于 cos(u) i + sin(u) j + vk， 这是 u 和 v 可取的范围， 如果我求 r 对于 u 的偏导， 我就得到--来看看-- cos(u）对 u 的导数是 -sin(u) i， sin(u)对 u 的导数是 cos(u) j， 而 v 对 u 的导数是 0， 这就是对 u 的偏导， 我们的偏导--对它 我用不同的颜色。 它对于 v 的偏导等于 它等于 0，它等于 0， 我们只得到 1k， 它就等于 k。 现在，我们至少可以 计算这个叉积了。 这样，我们计算叉积， 然后求它的幅值。 就是这一部分，求叉积， 在计算幅值之前，把里面这一部分， 拷贝粘贴。 它就等于一个行列式， 3 乘 3 的行列式， 我写出分量 i，k，j， 然后对于 r脚标 u，我们有它， 我们的 i分量是 -sin(u)， 我们的 j 分量是 cos(u)， 没有 k 分量，所以我们在这里写上 0， 然后 r 脚标 v，没有 i 分量，没有 j 分量， 它有 1 是 k 的系数。 这样我们可以求出它的值。 我们先来考虑 i 分量。 我们忽略这一列，这一行， 它就是 cos(u) - 0， 就是 cos(u) i， 然后我们有 -j 乘以--去掉这一列， 这一行，-sin(u)乘以 1 减0， 它就是 -j 乘以 -sin(u) 它就成了 +sin(u) j， 再算 k ，我们有它乘以 0 减去它乘以 0， 我们就得到 0， 这就是叉积。 如果我们要计算它的幅值， 如果我们计算它的幅值， 我们现在能够计算它的幅值了。 它就等于，它的幅值就等于 根号下 cos(u)平方+sin(u)平方， 没有 k 分量， 从这个单位圆， 这是最基本的三角恒等式， 它就等于 1， 这样，这一部分就简化为 1， 这真不错。 这样至少是对于这个表面， dS 简化成为 du dv ， 现在，我们能够 计算这个积分了， 但是，我的时间快用没了， 我在下一个视频中再计算。