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曲面积分练习 3 第 4 部分

求第三个曲面积分并得出最终答案. Sal Khan 创建

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视频字幕

上个视频,因为时间限制的问题, 我在12分的时候就突然停掉了 12分钟太长了,需要中断一下 我们停下来的地方,其实快做完了 我们要计算第三个表面积分 我们把它创建为对于r和θ的 二次积分 我们必须要设定边界 我们知道,r的值是介于0到1之间 θ的值是介于0和2π之间 所以,r,我们先对r计算积分 r是从0到1 θ值从0到2π 所以,现在,我们准备好计算积分了 我们先做这个部分 我们先做这里的里面的部分 我把外面的部分先再写一下 这个等于 我们有根号2乘以积分符号, 从0到2π,然后是这里d θ, 这个是在外面的 这里里面的部分 我们可以把它写成,如果我们把r分配出去 r减去 r的平方乘以cos θ 现在我们对r积分 当我们对r积分的时候, cos θ被视为常量 如果我们把它对r积分 你得到--我换粉色来做-- 如果对r积分, r的不定积分是r的平方除以2 r的平方的不定积分是 r的三次方除以3,减去r的三次方除以3, 然后是cos θ,它被视为常量 我们把它从0到1计算 当r值是1时 得到1/2减去1/3 cos θ 得到1/2--我在这里做-- 1/2减去1/3 cos θ 然后减去这两个在0处的值 这些在0处的值就是0 0平方减去0平方乘以无论是多少 都是0 所以这里这个部分 算出来是1/2减去1/3 cos θ 我们得到了这个积分 它等于是 根号2乘以这个积分,θ是从0到2π 1/2 减去1/3 cos θ, d θ的积分 这个等于是根号2乘以 1/2的不定积分是1/2 θ cos θ的不定积分是sin θ 减去1/3 sin θ 我们把它从0到2π来计算 我们算它在2π处的值 得到,我们把它们都写出来,快算完了 我不想粗心导致错误 我们得到根号2乘以--我们计算它在2π处的值 1/2乘以2π是π,减去1/3乘以 sin 2π 得到0 当在0处计算时,1/2乘以0是0 sin 0就是0 所以算下来得到0 所有这些简化为π 我们算完了 我们计算了第3个表面 它是根号2,或者,第3个表面积分 或者说,在第3个曲面上的表面积分 它等于根号2 π 我们计算完毕 这里这个部分,是根号2 或者2的平方根,乘以π 这整个表面积分,我们很久之间开始做的 计算的结果是 橙色部分算出来是0 蓝色部分算出来是3π除以2 然后,品红色的部分等于根号2 π 得到的是3π除以2,加上根号2 π, 这个就是我们最早那个表面积分的计算结果