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曲面积分示例第 2 部分

以交叉乘积计算曲面微分,用参数表示. Sal Khan 创建

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视频字幕

现在我们在这里有了这些参数 那我们可以正式开始计算 这个曲面积分了 过程比较麻烦,但是我们会 一步一步来 我要做的第一件事就是 求如何用s和t来表示d西格玛 也就是用我们的参数 我们可以把这个东西全部变成一个二重积分 一个在s-t平面的二重积分 然后记得,d西格玛是这里 是这个曲面的一小块 是这个曲面的一小块面积 然后我们在之前学习 什么是曲面积分的视频里 我们看到这里的d西格玛 等于我们的参数方程 相对于一个参数的偏导 数和参数方程相对于另一个参数 的偏导数的叉乘的长度 乘上每个参数的微分 所以这是我们要用的 这个结论看着很简单,但是我们会 发现求叉乘通常会变得很复杂 特别是三维向量的叉乘 但是我们会一步一步来 但是在我们开始求叉乘之前 我们需要求这个相对于s的 偏导数,然后这个相对于t的偏导数 那我们首先求相对于s的偏导数 r相对于s的偏导数 所以这里所有包含t的部分 你可以将其看成是一个常数 所以cost不会变 cos s相对于s的 导数是负sin s 所以这等于……我先把负号 放在前面……负cos t sin s 我会把所有包括t的部分用紫色来表示 sin s 然后…… 向量就用橙色,i,然后加上 再一次,我们要求相对于s的偏导数 cos t就是一个常数,sin s相对于 s的导数是cos s 所以这会是加上cos t cos s j 然后加上这个相对于s的导数 那这就是一个常数 5相对于s的导数就是0 这个同理 这就是一个常数 它不随着s变化 所以我们这里相对于s的偏导数就是0 我们可以写0k 我就写个0k在这里 这很棒,因为这能让 我们求叉乘的过程更直接点 现在我们来求相对于t的偏导数 好的 相对于t的导数 那现在cos s是常数了 cos t相对于t的导数 就是负sin t 所以这是负sin t cos s i 我会用蓝色……i,然后 加上这个相对于t的导数 cos t的导数是负sin t 所以现在我们有负sin t sin s 我的手都写累了 这是一个痛苦的题目 j,加上sin t相对于t的导数 我们求相对于t的偏导数 就是cos t 所以加上cos t 然后乘上k 现在我们准备好求 这里这两位的叉乘了 要求叉乘……让我写下来 我们要求 这个和那个的叉乘 等于……我要准备好 这个巨大矩阵了 其实就是个3×3矩阵 但是它很大因为 把这些全写下来 需要很多空间 所以估计我要这么多位置 这应该足够了 然后在这里写上单位向量 i,j,k 至少我比较喜欢这样记住 三维向量的叉乘计算方法的 求这个3×3矩阵 的行列式,其中第一行是 我们的单位向量,第二行是叉乘的 第一个向量 所以这会是负的…… 我就是把这重新抄到下面这里 这里是负cos t sin s 然后有cos t cos s 然后是0,希望这能 化简计算 然后在第三行是另一个向量 负sin t cos s 然后如果你已经知道之后怎么办了 我建议你先自己做做 这是个不错的练习 就算你要看完才知道 怎么做,也试试再自己做一遍 因为这是一个需要你自己 亲自做过才能熟练的东西 负sin t sin s 最后是cos t 那现在我们来求行列式 我们先想想我们的i部分 要求i部分,你就得 忽视这一列……第一列和第一行 然后求剩下的子矩阵的行列式 所以这是i……所以这等于 i乘上某些东西 我会把这某些东西写在这括号里 通常你会看到这个在i前面 但你可以对调顺序 所以这是i乘上某些东西 忽略这一列和这一行 行列式是cos t cos s乘cos t 会等于cos平方t 我写干净点 cos平方t cos s 然后我们需要减去0乘这个 但这等于0,所以最后就剩这部分 然后我们要做j部分 但你可能还记得当你计算3×3 矩阵的行列式的时候,有一个国际象棋棋盘的图案 正,负,正 所以这里有一个负号,负j 一个负号在j前面,然后乘 某些东西 所以你忽略j这一列和这一行 所以是负cos t sin s 乘cos t 这等于负cos平方t 乘sin s 让我确保我做对了 忽略这列这行 就是这个乘这个 嗯对的 负cos平方t sin s减去0乘这个 所以这是0,我们可以忽略 然后这里是 负负得正 最后是k部分 这里又回到正号了 系数是正,负,正 3×3矩阵的行列式就是这样 然后加上k乘……这个 有点复杂 因为这里没有0了 忽略这一行和这一列 求子2×2矩阵的行列式 得到负cos t sin s乘 负sin t sin s 这等于……负号抵消了 所以是cos t sin t 乘sin平方s 然后我们要减去 这两个的乘积 但是这个乘积会是负数 减去一个负数 等于加上正数 所以加上……同样得到cos t sin t 加上cos t……让我往右划两下 还是加上cos t sin t 这是乘cos平方s 现在这已经看着很难看了 但是好像这已经有能化简的了 这就是用不同颜色的好处 说实话,现在我不用多种颜色 都没法做计算了 因为这能很容易看见 一些规律 这里我们可以做的是 提取出cost sint 所以这等于cos t sin t乘 sin平方加上cos平方s 然后我们知道单位圆的定义 这等于1 这是一个重要的化简 所以我们的叉乘 现在等于……让我全部再写一遍 我们的叉乘 r下标s和r下标t的叉乘等于cos 平方t cos s乘i单位向量 加上cos平方t sin s乘单位向量j 加……这是剩下的,因为这块等于1……cos t sin t 乘单位向量k 这看着不错,但我们还没做完 我们需要求这个的长度 记住了,d西格玛化简成这个的 长度乘ds dt 所以我们来计算这个的长度是多少 这已经是最后冲刺了 我真的希望 我没有犯低级错误 所以这整个的长度 等于根号…… 我只需把这每一项都平方 然后加起来,每一项的平方 的和的平方根 所以这个的平方等于 cos平方的平方是cos四次方 cos四次方t cos平方s加上 cos四次方t sin平方s……我已经 开始看见一个规律了…… 加cos平方t sin平方t 现在,我看到的第一个规律是…… 就是这第一部分 我们可以提取出一个cos四次方t 然后我们会得到一些类似的东西 那就这么做 那头两项等于cos 四次方t乘cos平方s加sin平方s 再来一次,这个我们知道等于1 所以整个表达式就被化简成 cos的四次方t加cos平方t sin平方t 现在我们可以再试着化简一次 因为这一项和这一项都 包含一个cos平方t项 我们把它提出来 所以这个等于……所有这些 都是在根号下面的 所以这等于cos平方t 乘cos平方t 然后当你从这里提取出一个cos平方t 你就只有一个sin平方t 这很好,因为这再一次化简成了1 所有这些都在根号下面 我最好继续在这写上根号 来表明这仍然是在 根号下面的 这对我们非常有用 因为cos平方t的平方根 就是cost 所以这全部最后化简成了 一些很简单的东西 所以这整个就等于cos t 回到我们想要的东西 我们要重写d西格玛 这就是cost ds dt 让我写下来 d西格玛……我们在下一部分会用到 d西格玛等于cost ds dt 然后我们下一部分再见