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曲面积分示例第 3 部分:冲刺阶段

使用几个三角函数定理来最终计算曲面积分的值. Sal Khan 创建

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视频字幕

现在我们已经可以 写出d西格玛了 我觉得我们离计算这个 积分很近了 然后有一个事我要说一下 可能你从上个视频的结尾 也有这个问题 在上个视频的结尾 我求了cos平方t的算术平方根 然后将其化简成了cos t 然后你可能想说,等一下 假如cos t是个负数呢 然后我求它的平方,这是正的 然后我求它的算术平方根 我会得到正数 所以我得到的是cos t 的绝对值 我们在这个视频里的例题 里面可以这么做的原因 是因为我们看到了t的取值 范围是在负2分之π到正的2分之π 所以就是在第一 或者第四象限 这是t的位置 cos会一直是正的 在这个曲面积分里 cos t一直是正数 所以在这个情况下,我们不需要 写cos t的绝对值 我们可以直接写cos t 希望你对这解释满意了 这是根据我们如何将t参数化的 好,现在这个解决了 我们来计算这个积分 我们原本的积分 回忆一下,原本的积分 是x平方d西格玛 的曲面积分 我们已经知道d西格玛是什么了 现在我们只需用这些 参数写出x平方 我们知道x参数化后是什么 根据这里的参数,x等于cos…… 这是我们的参数 x等于cos t cos s 让我写出来,x(s,t)等于 我已经忘了是什么了,记性太差了 等于……回到我们原本的参数化这里 不是这些偏微分 cos t cos s cos t cos s cos t 然后cos s 然后我们求这个的平方的积分 所以我们来思考一下 我们来看这一部分 假如我们求x的平方,会得到 cos平方t,cos平方s cos平方s 这是这里的x平方 然后你有d西格玛 这等于这个,就是乘cos…… 让我换成同样的绿色 不想让你被不同颜色搞晕了 乘cost,ds,dt 然后我们将这个 用参数表达了,参数的微分 这就变成了一个二重积分 相对于这两个参数 所以,好消息是 积分范围相对于 s和t很直接:s是 在0和2π之间 t在负二分之π 负二分之π 到二分之π之间 首先,根据我写的 我们会先求相对于s的积分 s从0到2π,然后t 让我写清楚点,这是s 然后t从负二分之π 到正二分之π 那我们来看看能不能化简一下这个 这个等于在同样区域 或者同样面积内的二重积分 可以说是在同样面积内 现在我们有这个cos平方t 然后我们还有一个cos平方t在这里 所以让我这么写 cos的三次方t乘cos平方 cos平方s,然后ds 让我用不同颜色标记一下 ds,所以这是ds积分 然后dt 这是我们求相对于s的积分 注意这两个,t部分和s部分 它们只是相乘 所以当我们求相对于s的积分时 这个cos立方t其实就是个常数 我们可以提取出来,然后它看着大概是这样的 让我重写一下,这是t从…… 再把积分范围写一下 负二分之π到正二分之π的积分 cos立方t,我给它提取出来 然后我再写s的部分 乘上s从0到2π 的积分,这里我用蓝色 cos平方s,ds,然后dt在这里 用绿色来表示dt 相同的绿色 这个外面的积分 你可以看作是乘积 这里整一块 都不包含t 所以我们可以这么写 我会用绿色来写所有包含t的东西 我们可以将这个写成 负二分之π到二分之π cos立方t dt的积分乘上 这里我就是重新排列一下东西 或许你可以把这看成 结合律 应该说是交换律 老是搞不清这两个东西 乘从0到2π,cos平方s ds的积分 你不一定要这么做 你可以直接从 这个混合的情况来计算 但是这让我们算这些 三角函数的过程简单点 现在要求这两个积分 我们只需使用三角学的知识 cos平方s,我们可以将其写成1/2加 让我用同样的蓝色来写 这样不会搞混 这个等于1/2加1/2cos2s 然后cos立方t,同样 我们可以提取出一个cos t 让我重写一下 算了我直接一起做了 把所有三角函数的东西做完 这个可以重写成cost 乘cos平方t,然后这里的意思是 希望我们能得到一个sin和 cos的乘积,因为cos是sin的导数 你知道的,换元积分法 你看到一个函数和它的导数 你可以将其看作是一个变量 所以这是我们想做的事 cos平方t可以写成 1减sin平方t 所以这是cos t乘1减sin平方t 然后我们可以把这个写成cos t 减cos t sin平方t 然后你可能想说,等下 这个看着比下面这个简单多了 是的,这看着更简单 但是求这个的原函数更简单 求cos t的原函数更简单 还有这里,你有sin t的 导数,也就是cos t 所以你可以用换元积分法 估计你都可以心算了 那我们来计算这些积分 这个让我再重写一下 这样不会搞混 我们有从cos t从负二分之π到 二分之π的积分 减去cos t, sin平方t,dt 乘1/2加1/2cos2s ds 从0到2π的积分 现在我们可以求一些原函数了 这个的原函数是 cos t的原函数就是sin t 然后这里 sin t的导数是cos t 所以我们可以…… 假如你要用换元积分法的话 u等于sin t,du等于cos t dt 你这么做了之后 估计你不能心算的部分是 这里有sin t的导数 我可以把sin t当成t 或者说当成x 所以这等于,这个负号还在 减去sin的三次方t除以3 假如这是t平方的话 那它的原函数是t的三次方除以3 但是这里我们有一个导数了 我们可以用同样的办法 也就是在脑子里做换元积分 好,然后我们要求 在负二分之π到二分之π之间的积分 那这等于,假如你在二分之π求值 sin二分之π就是1 所以1减去1/3,等于2/3 我还是别这么写了 会让人误解 然后减去sin负二分之π 这等于负1减 sin负二分之π 是负1,然后三次方是负1 所以这是负1/3 这会等于……这是2/3 然后这是负1加1/3,等于负2/3 但前面还有个负号 所以是加2/3 这部分等于4/3 这一部分是最后冲刺了 这等于4/3 然后这一块 1/2的原函数就是1/2 cos2s的原函数是 这里你想要前面有个2 让我写清楚点 假如我要求这个的原函数 cos2s,你会要一个2在前面 这样是2s的导数 所以你可以在前面写个2 但你还要加上个1/2 这样你不会改变它的值 当然这里还有个ds 我就是求一个原函数 但是这样之后 这就是求 cos2s的原函数 cos的原函数是sin 所以这是sin2s 这里就是sin2s 然后还有个1/2在前面 当然,假如是求 不定积分的话还要加上个常数 但这里是定积分 所以不用管常数项 cos2s的原函数 cos2s的原函数是1/2sin 2s 然后还有个常数在前面 1/2乘1/2等于1/4 所以这等于1/4sin2s 这是原函数 现在我们要求0和2π的值 这两个情况下 这都等于0 sin0等于0,sin4π等于0 所以你有一个1/2乘2π,等于π 加上0,因为sin4π等于0 减去1/2乘0,等于0,1/4乘sin0,等于0 所以只剩下了π 这整块计算出来等于π 然后我们就做完了! 求这两个的乘积,4/3乘π 我们的曲面积分等于4/3π 这等于4/3π,很好! 假如你有一个半径为1的球面 它的表面积……哦不,我不应该这么说 我得小心点 我不该说那句话 因为这不是1的积分 但至少我们计算了曲面积分 我觉得我们应该歇会了