确定一个位置矢量值函数以参数化两个参数

在上个视频中， 我们开始对一个环形曲面进行参数化， 也就是一个甜甜圈形曲面， 我们使用了两个参数， 也花了很多时间画图， 画图很重要。 现在到比较难的部分了， 我们参数化环形曲面， 也就是甜甜圈曲面的方式， 是找一个确定点， 然后用一个圆来绕它一圈， 可选择任何圆， 我选的是 z-y 平面上的一个圆， 在这个圆上走多远， 我们用参数 s 表示， s 可以在 0 到 2pi 间取值， 然后我们让这个圆绕自己旋转， 更准确的说， 应该是让这个圆绕 z 轴旋转， 圆心也这么转， 所以它与原点的距离始终是 b， 这是从上面看的俯视图， 然后我们定义了第二个参数 t， 它告诉我们整个这个圆绕 z 轴走了多远。 这就是这两个参数的定义， 然后我们进行了可视化，画出图来， 这是我们参数的取值范围， s 从 0 到 2pi， 当 t 等于 0 时，这个圆在 z-y 平面上， s 从 0 开始，绕一圈到 2pi。 而 t 向 2pi 移动时， 就相当于移动这个圆， 我们将它移动—— 我们将它转动， 围绕 z 轴， 而我们 s-t 参数空间的这条线， 就对应着 3 维空间中的这个圆， 在 x-y-z 空间中， 基于这些， 希望我画的不错， 现在我们就要考虑 如何确定这个参数化的 位置向量的函数， 我们先来解决 z， 因为它最简单。 我们来看这个视角， z 如何写成一个函数呢？ 我们的 x，y，z 都应该 写成关于 s，t 的函数， 这就是参数化， 在空间中的任何一点都应该 用一个函数和特定的 s，t 来表示。 我们看这个， 这个点， 我来选几个点来试一试， 这里这个点， 与这个点是对应的， 我们再选一个， 这个点， 对应于这个点，就在这里。 再来几个， 我来选， 这里这个点， s 还是 0， 是最外侧边缘，在最外侧这里， 我再选一个， 来定义一下这个方块， 在这个点， t 完全没有转， 但我们沿这个圆走了 1/4， 是这里这个点。 所以对任何 s 和 t， 都能对应到 x-y-z 空间的一个点上。 所以我们的 z，我们的 x，y， 都应该是 s 和 t 的一个函数。 我们先考虑 z， 我想应该很简单。 z 作为 s 和 t 的函数的话，它等于什么？ 我们选定任意一个圆， 记住，s 表示半径和 x-y 平面之间的角度， 我来画一下， 换种颜色， 我快把颜色用光了。 我们说这是一个半径， 在这里， 我们说这个角是 s， 我把这个圆画出来， 稍微用点三角函数知识， 这个角是 s， 我们知道半径是 a， 圆的半径，我们设为 a， 那么 z 就是这个点到 x-y 平面的距离， 它等于这个距离，在这里。 直接用三角函数， 它就等于， 如果分不清正弦余弦， 请去复习一下三角函数的视频。 而这是正弦，你可以这么看， 如果这是 z， 你可以说 s 的正弦， 也就是对边比斜边， 等于 z 除以 a。 两边同时乘以 a， 得到 a sin s 等于 z， 它告诉我们这个点在 x-y 平面之上多远， 这是简单的三角函数， 所以 z(s,t)，其实只跟 s 有关， 它等于 a 乘以 sin s， 不错不错。 然后我们看看， 能否得出 x，y 等于什么， 记住，z 与之无关， 与我们绕 z 轴走多远无关， 只与我们在这个圆中怎么旋转有关， 如果 s 等于 0，那我们就在 x-y 平面上， z 就等于 0。 如果 s 是 pi/2，在上面， 我们就在甜甜圈的顶部绕圈， 那么我们就在 x-y 平面之上距离为 a， 也就是 z 等于 a， 希望这样说更好理解一些。 我们现在来考虑绕 z 轴旋转的情况， 记住，这两个是俯视图， 我们从上往下看这个甜甜圈， 那么每个圆的圆心跟原点距离都为 b， 也可以说是离 z 轴或旋转轴的距离， 距离都是 b。 那么我们的 x 坐标，或者 x 和 y 坐标， 如果是在圆心的话，距离是 b， 距离是 b，在这里。 我们现在来考虑在 x-y 平面上的位置， 距离有多远， 也就是说，我猜你能想象出来， 如果我们的点投影到 x-y 平面上， 那么距离原点有多远？ 它总是等于—— 我们回到这个图， 这个图最清楚， 这是 z-y 平面上的圆， 但也可以是任意一个， 这是 z 轴，在这里， 而这个距离是 b， 这个是已知的， 那么这个距离是多少？ 圆心的距离是 b， 而现在有个角度 s， 根据这个角度 s， 这个距离，可以说是 x-y 平面， 如果我们坐在 x-y 平面， 我们离 z 轴的距离是多远？ 或者投影在 x-y 平面上， 或者 x 值和 y 值是多少， 我尽量从不同角度描述， 相信你会更了解， 如果 z 等于 a sin theta， 这个距离， 这个较短的距离，它就等于 a cos theta， 不是 theta，是角 s， s 就是这个角度， 这个长度，就等于 a cos s， 那么，如果我们说从原点到这里的距离， 沿着 x-y 平面的距离， 就等于 b 加 a cos s， 如果 s 角有这么大， 那这就是负的， 这是有道理的，因为这个距离就小于 b 了。 实际上就到了这个点， 我们看俯视图， 无论我们在哪，这都是 b， 我们旋转了一点， 这个长度，沿着 x-y 平面的长度， 就等于 b 加 a cos s， 任意一点都成立。 只与 s 和 t 有关， 现在，我们绕 z 轴转动， 比如我们在这个点， 比如这个点， 而这个点，我们已经知道， 它到原点的距离，x-y 平面上的距离， 是 b 加 a cos s， 那么，它的 x 坐标和 y 坐标等于什么？ 记住，这是俯视图， 我们就坐在 z 轴上，向下看 x-y 平面， 我们向下看这个甜甜圈， 那么 x 和 y 坐标等于什么呢？ 我又画了一个直角三角形， 这又是个直角三角形， 这个角是 t， 这个长度等于它乘以这个角的正弦， 所以这个，实际就是我们的 x， 这就是这个点的 x 坐标， x 要写成 s 和 t 的函数， 它等于 sin t， t 是我们这个角， 乘以这个半径， 乘以，两种写法都可以， 乘以 b 加 cos s。 因为距离取决于我们在小圆上的位置，对吗？ 如果我们在这，那就远的多， 在这里刚好就是 b， 因为我们只考虑 x-y 平面上的距离。 而在这里，距离是 b-a，就在 x-y 平面上。 所以，这就是 x 关于 s 和 t 的函数。 实际上，x 的正方向我定义为这个方向， 这是 x 正方向，这是 x 负方向， 我应该变个符号的， 但这么定义也是有意义的， 这是正 x，这是负 x， 也取决于要用 右手还是左手定则的坐标系， 但这也是有意义的。 好，我们说，这个长度是 b 加 a cos s， 我们是从这里得出的， 从这幅图， 像是甜甜圈切了一刀。 这就是任何一点在 x-y 平面上 距离原点有多远，而不考虑高度， 就像是某种辐射半径， 如果想知道 x 坐标， 那就用它乘以 sin t， 而 y 坐标就等于这个， 在这里， 这个三角形里， y 关于 s 和 t 的函数等于 cos t 乘以这个半径， b 加 a cos s， 这就是我们的参数化， 用的是这个三角形，很好理解， 就是说，如果这是 y 坐标， 用三角函数的定义， cos t 等于邻边，也就是 y， 这是角 t， 除以斜边， 除以 b 加 a cos s， 等式两边同时乘以这个， 就得到 y(s,t) 等于 cos t 乘以这个东西， 我来把所有的结论拷贝粘贴过来， 这就是参数化， 我们可以就这么放着， 但如果我们想表示成一个 位置向量的函数， 可以这么来定义它。 找个漂亮颜色，粉色吧。 设我们的位置向量函数为 r， 它有两个参数，s 和 t， 它就等于它的 x 值， 我用相同颜色， 它等于，我先写这部分， b 加 a cos s 乘以 sin t， 这是往 x 方向走的距离， 所以，它要乘以 i， 在这里，我刚规定过， x 的正方向是这样， 因此这就是单位向量 i， 我是这么规定的， 就是这个方向， 然后再加我们的 y 值， 等于 b 加 a cos s 乘以 cos t， 乘以 y 方向的单位向量， 记住，单位向量 j 是这个方向， 这就是单位向量 j， 然后，最后，轮到 z 了， 这是最简单的一个， 加 a sin s 乘以单位向量 k， 也就是 z 方向的单位向量， 乘以单位向量 k。 现在，如果你给我在取值范围内的 任何 s 和 t， 然后把它们代入这个位置向量函数， 它就能给你一个位置向量， 这个向量就指明了曲面上的某个点。 如果你选—— 我们看自己是不是真理解了， 如果你选这里这个点， s 和 t 都等于 pi/2， 代进去，就当练习， 把 pi/2 代入所有这些， 来我们开始， 现在，r(pi/2,pi/2)，等于什么？ 它等于 b 加 a 乘以 cos(pi/2)， cos pi/2 等于 0，对吗？ cos 90 度， 等于 b，后面这部分是 0， 乘以 sin pi/2， sin pi/2 就是 1， 它等于 b 乘以 i， 再加上，还是 cos pi/2，等于 0， 所以这一项就是 b， 然后是 cos pi/2，还是 0， 所以是 0 j， 加上 0 j， 最后一项，pi/2， 这就没有 t， sin pi/2 是 1， 所以是加 a 乘以 k， 所以 j 方向实际没有值， 它就等于 b 乘以 i 加 a 乘以 k， 所以它指向的点， 根据参数化，或者向量函数， 就是 bi 加 ak， b 乘以 i 就在这里， 然后是 a 乘以 k， 就到了这里， 所以位置向量就指向这里， 跟之前判断的一样， 这个点，在这里的这个点， 对应的是这个点，就像这样。 当然，我选的是好计算的点， 但这整个范围，你可以把整个范围内的 每个 s 和 t 都代入， 每个点都能变换到曲面上。 这就是一种函数变换，在这里。 当然，我们也要表明， s 的范围， 我们已经写过很多次了， s 在 2pi 到 0 之间， 也要说明 t 也在 2pi 到 0 之间。 你可能看出来了， 我们在 2pi 这个点上重复了， 所以可以把其中一个等号去掉， 那实际上也不改变这块区域， 也不改变曲面面积。 但我希望这能给你一些直觉， 关于参数化的直觉， 明白我们在做什么， 因为在曲面积分里，参数化非常重要。 当然，最难的部分还是画图。