曲面参数化，第1部分

我们目前做的所有参数化法 都是使用一个参数来参数化一个曲线 本视频中，我们要做的是 在三维空间，用两个参数来参数化一个表面 我们从一个环状体的例子开始 环状体，或者，更为人所熟知的，甜甜圈形状 我们都知道甜甜圈是什么形状 我们把它画出来 我用绿色吧 一个甜甜圈看上去像这样子 它在中央有个洞， 也许它的另外一边看上去像这样 我们把它涂上阴影 这个是甜甜圈一般的样子 我们如何用2个参数来构建它？ 我们要做的，是你可以把它用图形表达出来， 如果你画一些坐标轴上去，来表现这个甜甜圈 这个是我们的甜甜圈 我添加一些坐标轴上去 比如说，这个是z轴，垂直的上下方向 我画在这里，甜甜圈有点斜， 所以z轴也会有一些斜 我们的z轴穿过 甜甜圈的中心 这里，这将是一个 绘画的练习 这个是我们的z轴，然后，你可以想象 z轴从这里开始，然后， 从这里出来的，是x轴 这里是我们的x轴，然后， y轴从这里出来 我这么画的原因在于， 如果你想象甜甜圈的交叉部分 就会简单些，但是这个甜甜圈和x-z轴的交叉部分， 会是像这个样子 如果我们在x-z轴方向上做一个切片， 看上去会是像这个样子 这个是一个切片 我们考虑到不是整个甜甜圈， 只是甜甜圈的表面 它会切割出一个圆形，像这样 如果我们沿着z-y轴切开， 它会切出一个圆形， 看上去像这样，这里 如果你到这里，你会得到一系列的圆 如果你想一下，它是 一系列围绕着z轴的圆 如果你这么想，就会给 我们参数化这个甜甜圈提供很好的思路 我们这么做 我们从z-y轴方向开始 我画更清楚一些， 这个是z轴，这个是y轴，像这样 我们说，这一些圆的中心， 它位于，当你穿过z-y轴的时候， 它们的中心位于y轴 这里画的不是特别清楚， 但是你可以直观感受一下 它位于y轴这里 我们说，它离甜甜圈的中心的距离为b 或者说，它离z轴的距离为b 它始终为b 它总会是b，你想象一下，甜甜圈的上部 我们画一下甜甜圈的上部 如果你向下看一个甜甜圈， 我在这里画一个甜甜圈，如果向下看它 它看上去像这个样子 z轴会穿出来 x轴看上去是这样子，然后 y轴会是这个样子 所以，你可以想象，我位于它的上方 我从z轴这里，向下看甜甜圈 它看上去像这样 如果你考虑这个切片部分，这里的圆 如果你向下看，圆的上部， 会是这个样子 距离b是从z轴到 这些圆的圆心的距离 所以，这个距离，我们画成同样的颜色， 从中心到这些圆的圆心，会是b 它由中心到圆的圆心 距离一直是b 这里是b，这里也是b 这里还是b 从甜甜圈的中心到圆的圆心 它的距离是b 所以这里这个距离，这里，就是b 从b这里，我们可以想象一个半径 一个长度为a的半径 这些圆的半径的长度为a 所以，这里这个距离是a， 这里这个距离也是a，这里也是a 这里还是a 如果我看下这些圆， 这些圆的半径是a 我们现在有了两个参数了 一个是这个半径与 x-z 平面的夹角 你可以想象x轴这里延伸出来 我用同样的颜色 你可以想象，x轴从这里伸出来， 这个是x-z平面 所以，一个参数， 是半径和x-z平面的角度， 我们称那个角度，或者说参数， 我们称之为s 所以，s介于0到2pi之间，当s从0到2pi时， 0在这里这个点， 然后，当它到2pi时， 它画出一个圆，像这个样子 现在，我们只有一个参数 我们要做到是，旋转这个圆， 我所画的是这里这个圆 我们想把整个这个圆旋转 我们来界定另外一个参数 我们称它为t，我再次从上面往下看 这个看上去有些乱 我再画一个 你可以看到，这个就是视觉化的过程 我们说，这个是x轴，这个是y轴 我们说，我们从z-y平面开始 它离z轴距离为b，所以，这个距离是b 在这个图中，z轴从平面向我们伸出来 它从纸面向外伸出来 我们向下看 和这里的这个视角类似 我刚刚画的，当s等同0半径时， 我们在这里，沿着y轴方向 一个半径的距离 然后我们旋转 当我们旋转以后，我们这么旋转， 然后一路到这里 当我们位于这里的时候，然后向下 如果你看圆的上部 它会是这个样子 现在，为了做出甜甜圈的形状， 我们要把这个围绕z轴旋转 记住，z轴是从纸面向外延伸出来的 直接向我们延伸出来 伸出屏幕 现在旋转 我们把这个圆围绕着z轴旋转 为了这么做，我们需要定义一个参数 来告诉我们我们旋转了多少 所以，这个是当我们旋转0弧度的时候 在某个点上，比如在这里， 我们应该已经旋转，b这个距离， 我们的圆看上去会是这个样子 也许是我们甜甜圈上的这个点，这里 在这个点上，我们旋转它 比如旋转p弧度 所以，这个参数，围绕z轴旋转了多少弧度 旋转了多少， 我们称之为t t介于0到2pi之间 我讲清楚一些 我把这个域画出来， 这样可以充分理解 我画一些出来，然后我们来讨论 如何参数化， 以界定出向量函数来定位 所以，这里，我们称它为t轴 这个是，记住，到这里，我们围绕z轴 旋转了多少 我们称这里这个是s轴 我想，这么做会比较有帮助 当s等于0，我们变量为t， 它是介于0和2pi之间 这里是0，这里是2pi 我们选介于其间的一个 这个是pi，显然这里是pi/2 这里是3pi/4 我们对p轴做同样的操作 它直到2pi 我们做一下 直到2pi 我希望你能够图像化它， 因为这样的化，参数化的过程就会比较顺畅 这个是2pi，这个是pi，这个是pi/2 这个是3pi/4 我们考虑一下，如果将s保持为一个常数0 我们的t在介于0和2pi之间变化 我们用红色，这里 我们把保持s成为一个常量， 我们变化参数2pi 这个，如果你考虑一下，会构成一个 三维的曲线，不是一个平面 因为，这里，我们之让一个参数变化 我们考虑一下它是什么意思 记住，s是，我画一下数轴 这个是x轴，这个是y轴， 这个是，哎呀，画面上有些乱 这个是z轴，实际上， 我画大一些 我想，这个会帮助我们 视觉化这个问题 这个是x轴，这个是y轴，这个是z轴 沿着这个方向延伸 现在，记住，当s等于0，这个意味着 我们的这个圆没有旋转 它意味着我们在这里 这个距离是b，然后，这里的距离是a 对吧？ 我们还没有开始旋转 我们设s等于0 它离原点距离是b，所以，这个点是 b这么远的距离，然后 在加上a这么远的距离 b是圆的中心， 然后再离它有a这么远 我们会到这里 这个距离是a加b 然后我们来变化t 记住，t是我们绕z轴的距离 这里是从上面看的视图 这里这个线，在我们s-t空间中，我们可以说， 当你画它的时候，或者参数化它的时候， 它对应的曲线，基本相当于甜甜圈的外缘 如果这个是甜甜圈的上视图， 它会是甜甜圈的外缘，像这个样子 让我把外缘画出来 为了让它更清楚一些，我把 正负两个部分的坐标轴都画出来 这样，视觉化我们的问题就比较容易一些 正和负的值域，这里是负的z的部分 所以，这个在t-s空间内的线，这个红色的线 我们把s保持在0弧度，我们增加t 这个t是0，这个t是2pi， 这个是pi，这个是3pi/2， 一直这样直到t等于2pi 这个线对应着这个线，当我们旋转的时候， 当我们增加t，并且保持s是个常量0 现在我们做另外一个点 我们说，当s在pi的位置的时候，记得 当s在pi的位置，我们移动的位置，pi是180度 当s在pi这里，我们围绕着圆， 正好移动了180度，围着每个圆 所以，我们在这里 现在，我们把它保持在常量pi，然后旋转它 以构成我们的甜甜圈 我们构成了甜甜圈的内侧 当s在pi这个位置是，我们的t从0开始， 所以，当s是pi，t是0的时候，得到的是圆的中心 我们的位置在它下面的a距离 我们会到这里 然后，当我们变量变化的时候，当我们增加t的时候， 我们沿着它移动，保持s在pi的位置，我们增加t 我们得到了甜甜圈的内侧， 看上去像这个样子 我尽量画的好看一些 然后，我们可以这样做几次 当s在pi/2这里，我换个颜色， 当s是pi/2，我们转到这里， 正好是90度对吧？ 在这个点，pi/2是90度， 然后，如果我们变化t，我们基本上 得到了甜甜圈的上面，对吧？ 我们确保图形上有它 所以，交叉的部分，甜甜圈的上面， 我们从这里开始 所以当s是pi/2时候，你把变量向右边变化， 然后改变t， 然后你改变t，看上去会是像这样， 就是这里这个圆的上部 这个圆的上面，会在这里 圆的上部，会是在这里 圆的上部，会在这里 然后，我把这些点连起来 看上去就像这个样子 这个是我们的甜甜圈的上面 如果我做一个顶部视图，它会是 甜甜圈的上面，像这样 如果我想要甜甜圈的底部， 把图形弄清楚一些，如果想要构建甜甜圈的底部 甜甜圈的底部会是--看 如果我们的s是3pi/4，我来改变t， 就是甜甜圈的底部 我们画一个圆，这里， 这里这个圆，如果不是透明的话， 你看不到它的全部 它会构建出甜甜圈的底部 像这样 图形有些拥挤，容易混淆了 希望你还是能看明白 当s再次是2pi，你会再次回到 甜甜圈的外部 它会是紫色 当你把s定义为某个值的常量，对t施加 变化的时候，就会是这样 现在我们反过来做 如果保持t在0这里，变化s，会如何？ 好，t是0，意味着我们没有旋转 我们在z-y平面上 t是0，s从0开始，移动到pi/2 这里这个点 然后是pi 这个和这个点是一样的 然后是3pi/4， 然后回到2pi 所以这个线对应的这个圆，这里 如果我们定义t是pi，我们可以继续这么做， 我换个颜色 当t是pi/2，像这样 我们会是围绕着z轴转了90度 所以，现在我们到了这里 现在，当我们改变s，s会从这里开始 然后，会像这样移动 这个线对应着这个圆 我们可以一直这样做 当t等于pi，意味着我们像这样 围着圆，现在当我们改变s，从0开始， 到pi/2，我们从这里开始 然后，一直变化，向下运动， 触及到这些我们此前谈到的轮廓部分 我再做一次，让这个框架 再清楚一些 深紫色，希望你能看的清楚 当t是3pi/4，我们一直旋转 我们在x-z平面上， 然后，当你改变s，s从这里开始， 当你增加s，你会围绕着这个圆， 像这样 当然，当你一路这样回来，运动了整个圆周后， t到pi/2，同样的 你再次回到这里 这个，我把阴影涂成同样颜色， 希望你们能够理解 参数化的内涵 我还没做其他的计算 我还没有介绍，如何在算术上， 将它表达为一个向量函数 但是希望你能够明白，用两个参数来参数化是什么意思 为了给大家一个概念，表明一下s-t平面上这些区域对应到 这个表面上哪些地方，在这个，我想你可以把它称为 R3，的区域上， 这里这个小方形块， 我们看一下它的边界是怎么界定的 这个小方块，我要确保一下 这个方块可以清楚地画出来 这里这个方块，介于，如果你看一下t， 它介于0和pi/2之间 s介于0和pi/2之间 这里是我们甜甜圈的这个部分 如果你从上面看， 它看上去像这样，这里 你可以想象，我们的方块改变了 我甚至还没开始进入算术计算的部分 但是我们把这个方块，变换到了 甜甜圈的这个部分 现在，在视觉化部分， 我可以做到已经足够了 我视频先到这里 下个视频，我们会来研究， 如何在实际上用这两个参数来参数化 记住，s围着这些圆在运动， t围绕着z轴运动 如果我们取s和t的所有组合 你会得到这个环形或者甜甜圈的表面上 它所有的点 你如何由s和t，两个变量都是都是从0到2pi， 得到一个一个三维的向量函数上的 某个位置，从而定义出它的表面？ 我们在下个视频中处理这个问题