向量值函数的偏导数

我们有一个向量值函数 r(s,t) 等于 --嗯，x等于一个s和t的函数 所以，我们写成x(s,t) 乘以 x单位向量，或者，i，加上y(s,t) 乘以 y单位向量，或者j 加上x(s,t) 乘以z单位向量，k 我们已经有了向量值函数， 我们定义一下，或者说考虑一下对这个 向量值函数相对于s或者t其中一个参数 取偏微分意味着什么？ 我想这个应该很自然 不是很难的事情 我们此前曾经对非向量函数取过偏微分 在那种情况下，我们只对一个变量来处理 我们只针对一个变量来运算 把另外一个视为常量 这里，我们会用同样的方式来处理 并且我们已经处理过常规的 向量值函数的导数问题了 解题的方法最终会是 每个项的常规导数问题 我们会看到，对于偏导数问题 也是如此 所以，我们来定义函数r 相对于s的偏导数 我们所有对s的操作， 都可以换成t来操作，会得到同样的结果 我把它定义为，当delta s趋近0时， r(s+delta s,t)的极限值 在 s, t中，针对s的变化 求取其极限值 我们保持t不变，你可以想象对于给定的t， 它是一个常量，减去r(s,t) 所有这些除以delta s 现在，如果你进行一些运算， 会得到，r(s+delta s,t), 这个就和x(s+delta s,t) i, 加上 y(s+delta s,t),乘以 j，加上 z 所有这些减去这个 不信的话你们算一下， 检查一下 它等于是，当delta s趋近0的时候， --我要写小一些， 以为会占很大空间--x(s+delta s,t)减去 x(s,t)，我想你知道下面怎么做了 这些全部写出来很长， 但是没关系 乘以s 或者说，除以delta s乘以i-- 我换个颜色，--加上y 每项中，这些delta s趋近于0， 我写这里 y(s+delta s,t)减去y(s,t) 所有这些除以delta s 乘以j 然后，最后，加上z(s+delta s,t)减去 z(s,t), 所有这些除以delta s，乘以z单位向量，k 这个就是由定义得出的 如果你只是把s加上delta s替代s-- 计算下来 你会得到同样的结果 希望你能够看明白 我们只是把每个函数，相对s 来求偏导数 这里这些函数，这个x(s,t)， 它是非向量值函数 这个y，也是一个非向量值函数 z，同样是非向量值函数 当你把它们放一起， 它会成为一个向量值函数 因为我们把第一个和一个向量相乘了 第二个乘了另外一个向量 第三个也乘了一个向量 但是，独立地看，每个 函数自己是非向量值函数 这个就是常规 偏导数的定义 在每个部分，我们求取当delta s趋近0的时候 它的极限值 它是同样的事 它等于是--这个和x对s的偏积分乘以i， 加上y对于s的偏积分乘以j， 加上z对于s的偏积分乘以k 结果上是一样的 我要再多做一步， --我录制这个视频的原因是， 它会为我们将要做的， 求解表面积积分 提供很好的工具 所以，我在这里多做一步， 是因为微分是很难 严格定义的 但是它会直观告诉你如何做 这里的这个部分，我会说，它也等于 --你不会在任何数学教科书上看到， 严格的数学家看到我们这样做 也会畏首畏脚 但是我还是要这么做， 因为它会更直观地告诉你 是如何计算表面积积分的 我会说，这里整个这个部分， 它等于r(s+ s的微分,t)，s的微分是 一个s非常小的变化量，--减去r(s,t) 所有这些再除以同样的这个s的微小变化 希望至少你明白了 为什么我这么来看这个问题 当delta s趋近于0时，我对它求极限， 这些delta s会无限的小 然后，在我大脑里，这个就是我如何思考微分 当有人写y相对于x的导数时， --比如，它等于2， 我们此前做过微分的一些计算 你可以想象，将两边同时乘以dx 得到dy等于2dx 在积分部分，我们有这么做 我想象的是，y的一个超级小的变化， -等于2乘以-- 同样微小的x的变化 所以，，如果你有一个非常小的x的变化， 对应的y的变化仍然是非常小的，但是它 会是x变化量的2倍 我想，这个是思考它的最好的办法 但是，一般而言，我们会把微分 视为一个变量的非常小的变化 所以，解决了这个问题， 我也和你解释了，很多数学家会不太同意我刚刚做的 希望你能够 理解的多一些 我刚刚说，当delta s趋近0 我把它在相当程度上想象为ds 我这么做的原因，在于， 如果你取这一侧，和这一侧，将两边同时乘以 微分ds，得到什么？ 左边，得到r相对s的偏微分等于 这个乘以ds 我把ds写成粉红色 乘以ds--这个只是一个常规的微分 s的微小的变化 某种意义上的微粒，相对于s 它会等于--如果你将等式这边 乘以ds，这个部分会消失 所以，会是r(s+非常小的s的变化,t), 减去r(s,t) 现在我在这里画一个小方块 下个视频中，它会非常有价值 我们会想想它意味着什么，以及 如何在表面上视觉化表现它 你可以想象，这里是一个向量 你有两个向量值函数 你要求它们的差 我们在下个视频中会视觉化表现它 这个对我们求解表面积积分很有帮助 使用同样的逻辑，我们可以对s 用同样的操作，我们也可以对t用同样的操作 所以，我们可以定义这个偏导数- 定义这个r相对于-- 我换个不同的颜色，完全不同的颜色 橙色的 r相对t的偏导数-- 定义在这里 当delta t趋近于0， r(s,t+delta t)减去 r(s,t)的极限 在这种情况下，我们保持s不变 你可以把它想象为常数 我们求出t的变化，所有这些除以delta t 得到同样的结果 这个等于x相对于t的偏导数，乘以i，加上 y相对于t的偏导数，乘以j，加上z相对于t的偏导数，乘以k 同样的，你只是把s和t对换了一下 通过同样的逻辑，得到 同样的结果，只是相对于t而已 如果按照上面同样的做法， 你会得到r相对t的偏导数乘以 一个t的很小的变化量，dt，t的微分， 你可以想象，等于r(s,t+dt) 减去r(s,t) 所以，我们把这两个圈起来 下个视频，我们会把 这些项视觉化表现出来 有些时候，当你做了一些这样的运算， 你会想， 为什么这样做？ 记住，我所做的，是说 如果对这个相对s或者t取 微分，会是如何？ 这两个对我们非常有价值，我想， 对我们理解为什么表面积积分看上去是这样的 非常有帮助