If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org 和 *.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

多变量微积分

课程: 多变量微积分 > 单元 2

课程 3: 对向量值函数求导 (文章)
数学
多变量微积分
多元函数示例
对向量值函数求导 (文章)
© 2023 Khan Academy使用条款隐私政策Cookie 通知

曲率

Google课堂
你如何衡量一条曲线的弯曲程度？

背景知识

我们要做什么

  • 曲线上某个点的曲率半径，简单地说，就是在那一点处最贴合该曲线的圆的半径。
  • 曲率，用\kappa来表示，是一除以曲率半径。
  • 在公式中，曲率被定义为单位切线矢量函数相对于弧长的导数的大小：
    \kappa, equals, open vertical bar, open vertical bar, start fraction, d, T, divided by, d, s, end fraction, close vertical bar, close vertical bar
别担心，我会一步一步教大家如何计算该值。
  • 直觉告诉我们，单位切线向量会告诉你移动的方向，以及相对于每一小步d, s在曲线上移动的速度，这是一个很好的指标能表示你转动的快慢。

沿着曲线驾驶

在平面x, y上绘制一些曲线。我们将用公式来处理所有东西，但现在，只要想想这个图片就可以了：
想象一下沿着这条曲线驾驶一辆汽车，并想一想你在每个点转动方向盘的程度。在某些地方，道路几乎不会弯曲，那么你实际上就是在直行。在其他地方，你必须转车轮转得比较大。
现在想象一下，在你开车的某个时刻，你的方向盘被锁定了。如果你继续使用这个锁定的方向盘驾驶，完全没有意识到你要离开这条路了，那么你的车会划出一些圆圈，就像下面用绿色绘制的那样：
如果方向盘在锁定的时候转动很大，那么该圆的半径相对会小。如果你几乎没有转动它，那么圆圈的半径就会非常大。以下动画显示了曲线上不同点处的各种圆圈（以绿色绘制）的样子。每个圆的半径用红色绘制。
可汗学院视频播放器
查看视频字幕
我们将与每个点相关联的圆的半径称为该点处的曲率半径。这是一个衡量曲线，即，每个点上的曲线，的很好的方法。形容这些圈子的另一种方式是，他们比任何其他圈子更紧密地贴近曲线。
另一个重要的术语是曲率，它等于一除以曲率半径。它通常用一个有趣的小符号\kappa来表示：
\kappa, equals, start fraction, 1, divided by, R, end fraction
概念检查: 当曲线非常接近直线时，曲率等于
选出正确答案：

计算曲率

假设你在平面x, y上定义了一条曲线的函数。就比如，我在上一节中使用的曲线是由以下向量值函数定义的：
s⃗(t)=[t−sin⁡(t)1−cos⁡(t)] \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t - \sin(t) \\ 1 - \cos(t) \end{array} \right]
这跟以下参数方程所表达的意思是一样的：
x(t)=t−sin⁡(t)y(t)=1−cos⁡(t)\begin{aligned} \quad x(t) &= t - \sin(t) \\ y(t) &= 1 - \cos(t) \end{aligned}
计算曲率涉及了两大步骤：

第1步：求单位切线向量

理所当然地，某点处曲线的“单位切线向量”，是长度为1的切线向量。在由start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis定义的参数曲线的环境里，“求单位切线向量”几乎就等同于求所有单位切线向量。也就是说，定义一个向量值函数T, left parenthesis, t, right parenthesis，这个函数采用同样的参数，并且给出的是一个单位向量，这个单位向量在start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis点与曲线相切。

第2步：求start fraction, d, T, divided by, d, s, end fraction

当你沿着start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis的曲线移动时，每当你转弯，单位向量就会改变方向。在急转弯时，它也会改变很多，在相对直的部分，它几乎没有变化。事实上，曲率\kappa被定义为单位切线向量函数的导数。
但是，它不是参数t的导数，因为这可能取决于你沿着曲线移动的速度。它是弧长的微小变化的导数，通常用字母s来表示。
\kappa, equals, open vertical bar, open vertical bar, start fraction, d, T, divided by, d, s, end fraction, close vertical bar, close vertical bar
通常情况下，计算方法是先对T关于t进行求导，然后再除以vertical bar, vertical bar, start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction, vertical bar, vertical bar。
open vertical bar, open vertical bar, start fraction, d, T, divided by, d, s, end fraction, close vertical bar, close vertical bar, equals, start fraction, open vertical bar, open vertical bar, start fraction, d, T, divided by, d, t, end fraction, close vertical bar, close vertical bar, divided by, open vertical bar, open vertical bar, start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction, close vertical bar, close vertical bar, end fraction

求单位切线向量

让我们看一下上面的函数：
s⃗(t)=[t−sin⁡(t)1−cos⁡(t)] \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t - \sin(t) \\ 1 - \cos(t) \end{array} \right]
如果你读了微分向量值函数，你就会知道这个函数的导数可以被看作是速度矢量。
ds⃗dt=[ddt(t−sin⁡(t))ddt(1−cos⁡(t))]=[1−cos⁡(t)sin⁡(t)] \dfrac{d\vec{\textbf{s}}}{dt} = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{d}{dt}(t - \sin(t)) \\ \\ \dfrac{d}{dt}(1 - \cos(t)) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 - \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
例如，如果我们去估算我们刚刚算得的导数在某个特定时间的值，例如t, equals, pi，那么我们得到的向量是：
[1−cos⁡(π)sin⁡(π)]=[20]\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 1 - \cos(\pi) \\ \sin(\pi) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right] \end{aligned}
定位此向量使其尾端落于start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, pi, right parenthesis点，其中粒子在时间t, equals, pi上，它代表该粒子在此时的速度。
但是，我们必须要调整这个函数，因为我们想要得到的是单位切线向量。假如，这个特定切线向量长度为2，那么2, does not equal, 1, start superscript, start color #0c7f99, start text, open bracket, 需, 要, 引, 证, close bracket, end text, end color #0c7f99, end superscript。
概念检查：给定关于start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis的公式，
s⃗′(t)=[1−cos⁡(t)sin⁡(t)]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{s}}'(t) = \left[ \begin{array}{c} 1 - \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}
这个向量的大小是多少（作为时间的函数）？
选出正确答案：

概念检查：与向量
指向同样方向的单位向量是什么？（这个特定的向量与我们当前的问题无关，只是一个关于单位向量的练习。）
选出正确答案：

关键问题：以下哪一项表示被start bold text, s, end bold text, with, vector, on top参数化的曲线的单位切线向量（关于时间的函数）？
选出正确答案：

用单位切线向量求曲率

现在我们有一个单位切线向量的表达式作为时间的函数，我会用一个大写的T表示切线，（不要和代表参数的小写的t混淆）：
T(t)=s⃗′(t)∣∣s⃗′(t)∣∣\begin{aligned} \quad T(t) = \dfrac{\vec{\textbf{s}}'(t)}{||\vec{\textbf{s}}'(t)||} \end{aligned}
曲率\kappa是此单位切线向量的导数的大小，但是是相对于弧长s，而不是对于参数t。
κ=∣∣dTds∣∣\begin{aligned} \quad \kappa = \left|\left| \dfrac{dT}{ds} \right|\right| \end{aligned}
然而，计算这个的典型方法是首先将对T关于t进行微分，然后除以vertical bar, vertical bar, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, vertical bar的大小，你可以将其视为start fraction, d, s, divided by, d, t, end fraction。
\kappa, equals, open vertical bar, open vertical bar, start fraction, d, T, divided by, d, s, end fraction, close vertical bar, close vertical bar, equals, start fraction, open vertical bar, open vertical bar, start fraction, d, T, divided by, d, t, end fraction, close vertical bar, close vertical bar, divided by, open vertical bar, open vertical bar, start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction, close vertical bar, close vertical bar, end fraction

直觉

让我们暂停一下凭直觉思考。 T, left parenthesis, t, right parenthesis的导数告诉我们单位切向量如何随时间变化。因为它始终是一个单位切线向量，那么它永远都不会改变长度，只会改变方向。
在特定时间t, start subscript, 0, end subscript，你可以将向量start fraction, d, T, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis视为位于向量T, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis的顶端。想象一下导数向量试图以这样或那样的方式拉着向量T, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis，告诉它，“嘿！朝这个方向走。”
由于T, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis的长度永远不会改变，因此该导数向量必须始终垂直于T, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis；不然的话，它会把向量“拉”得更长或更短。
当这个导数向量很长时，它要非常用力拉才能使得单位切线向量改变方向。结果，曲线会突然改变方向，这意味着它具有更小的曲率半径，因此具有非常大的曲率。相反，如果导数向量很短，那么它只会敷衍地拉动切线向量。这就导致了非常平缓的转弯，因此具有大的曲率半径，意味着小的曲率。
然而，我们并不希望我们沿曲线移动的速率差异影响曲率值，因为它是关于曲线本身的几何形状的陈述，而不是任何粒子碰巧穿过的时间轨迹。出于这个原因，曲率需要对T关于弧长s进行微分，而不是关于参数t。

示例：螺旋的曲率

在我们刚刚做的所有题目中，没有任何具体的二维维度。例如，让我们来求以下三维函数的曲率：
v⃗(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)t/5]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ t/5 \end{array} \right] \end{aligned}
下面的动画显示了该曲线的形状，即所谓的螺旋。它还通过显示在每个点处最接近“拥抱”曲线的圆（以绿色绘制）来指示每个点处的曲率半径，每个圆的半径以红色绘制。
可汗学院视频播放器
查看视频字幕
啊是的，我称之为“向量微积分呼啦圈舞”。
你可能注意到了，这些圆圈的大小似乎没有变化。对于大多数三维曲线来说，这远非如此，这使得我们的示例有点特殊。
概念检查：看到上面的圆圈没有改变尺寸，你对我们的曲率函数\kappa, left parenthesis, t, right parenthesis有什么看法？
选出正确答案：

如果您想做一些关于这类问题的练习，现在是时候拿出铅笔和纸了。我们将一起完成它，你和我，但在出示答案之前，我会给你机会自己尝试每一个步骤。

第1步：计算导数

求曲率的第一步是对我们的函数进行求导，
v⃗(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)t/5]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ t/5 \end{array} \right] \end{aligned}
这为我们提供了曲线的切线向量，然后我们可以将其转化成单位切线向量。计算这个导数。

第2步：导数归一化

为了得到单位切线向量，我们必须对导数向量进行归一化，也就是说，除以它的大小。这个导数的大小是多少？
谢天谢地，这是一个常数。如果不是的话就很麻烦了。使用前两个答案，我们的单位切向量关于时间的函数T, left parenthesis, t, right parenthesis 是什么？

第3步：求单位切线的导数

为了求曲率，我们要先求这个函数关于时间的导数，然后取其大小。在这道题目里，T, left parenthesis, t, right parenthesis的导数是什么？

第4步：求该数值的大小

这个向量的大小是多少？

第5步：用这个值除以vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, vertical bar

为了把start fraction, d, T, divided by, d, t, end fraction转换成start fraction, d, T, divided by, d, s, end fraction，我们需要用它除以原参数函数的导数大小。
请注意，这是一个常数，所以在曲线上的所有点的曲率都是一样的。

总结

  • 曲线上某个点的曲率半径，简单地说，就是在那一点处最贴合该曲线的圆的半径。
  • 曲率，用\kappa来表示，是一除以曲率半径。
  • 已知定义曲线的参数函数start bold text, s, end bold text, with, vector, on top，要求曲率：
    • 把start bold text, s, end bold text, with, vector, on top的导数归一化，以求得单位切线向量：
      T(t)=s⃗′(t)∣∣s⃗′(t)∣∣\begin{aligned} \quad T(t) = \dfrac{\vec{\textbf{s}}'(t)}{||\vec{\textbf{s}}'(t)||} \end{aligned}
    • 曲率被定义为该值关于弧长s的导数的大小。你可以照下面的方式来计算：
\kappa, equals, open vertical bar, open vertical bar, start fraction, d, T, divided by, d, s, end fraction, close vertical bar, close vertical bar, equals, start fraction, open vertical bar, open vertical bar, start fraction, d, T, divided by, d, t, end fraction, close vertical bar, close vertical bar, divided by, open vertical bar, open vertical bar, start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction, close vertical bar, close vertical bar, end fraction
  • 直觉告诉我们，单位切线向量会告诉你移动的方向，以及相对于每一小步d, s在曲线上移动的速度，这是一个很好的指标能表示你转动的快慢。

想加入讨论吗？

登录
尚无帖子。
你会英语吗？单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.