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课程: 多变量微积分 > 单元 1

课程 1: 可视化多元函数（文章）

参数函数，两个参数

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若要表示空间中的曲面，可以使用具有二维输入和三维输出的函数。

背景知识

我们要做什么

要绘制一个具有二维输入和三维输出的函数, 你可以从输入空间中选择某个区域, 画出这个区域对应的所有输出值的点. 这会生成一个面, 即所谓的 参数曲面.
将这个过程反过来, 从空间中的一个面着手, 试着找到一个函数, 函数的图形就是这个曲面, 就是 参数化 这个面. 一般来说, 这是一件棘手的事情.

快速回顾单参数函数

在上一篇文章中, 我谈到描绘一个具有一维输入和二维输出的函数. 例如:

$f (t) = [\begin{matrix} t \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

我谈到由于输出空间的维数多于输入空间的维数, 我们怎样通过让

t

在某个范围取值, 得到函数在输出空间的点, 从而对该函数有一个直观的感受.

用这种方法解释一个函数, 就是所谓的 参数函数, 它的输入

t

被称为参数

两个参数

对具有二维输入和三维输出的函数, 我们也可以用类似的方法解释.

$f (s, t) = [\begin{matrix} t^{3} - s t \\ s - t \\ s + t \end{matrix}]$ ‍

两个输入

s

和

t

都被称为参数, 你将会看到我们怎样在三维空间中画出一个函数的曲面.

用这种方法描述函数的第一步是指定输入的取值范围, 比如

\begin{aligned} 0 < & s < 3 \\ - 2 < & t < 2 \end{aligned}

下面是该取值范围在输入空间中的样子.

接下来, 我们将考虑在该范围内函数的所有可能输出.

输入 $(s, t)$ ‍	输出 $(t^{3} - s t, s - t, s + t)$ ‍
$(0, 0)$ ‍	$(0, 0, 0)$ ‍
$(1, 0)$ ‍	$(1, 1, 1)$ ‍
$(2, 1)$ ‍	$(6, 1, 3)$ ‍
$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

好吧, 我们并不真地写出所有可能的输出, 因为, 你知道, 这涉及到无穷多的数. 不过, 原则上, 我们的目标是把所有这些值表示出来. 由于函数的输出包括三个分量, 我们在三维空间中可以将输出结果描绘出来.

下面的动画显示了参数空间里的点

(s, t)

移动到三维空间里的对应的

f (s, t)

输出:

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三维空间中生成的曲面叫做 参数曲面.

警告: 这样的曲面跟二维输出一维输入的函数的图形很容易混淆, 因为那种函数图形也是在三维空间中绘制的曲面. 但是参数函数 非常不同. 他们具有二维输入和三维输出. 注意, 这意味着要想画出他们的图形需要五维空间!

参数化一个曲面

理解参数函数的最佳方法之一是根据你想描述的一个曲面, 找到可以据此绘制这个参数曲面的函数. 这在将来学习多元微积分中的 曲面积分 也是一个有用的技能.

不过请注意, 参数化曲面并不容易. 在下面的例子中, 我们将要参数化一个圆环, 和甜甜圈形状一样. 在各种曲面形状中, 圆环是相对简单的例子, 但它仍需下一番苦功夫.

示例: 参数化圆环 (甜甜圈)

考虑上图中的表面. 你可以认为它是一个甜甜圈, 或者也许认为它是甜甜圈表面的浆汁更贴切, 我们并不关心里面填充的是什么. 我们现在的目的是找到一个具有二维输入和三维输出的函数, 这个函数的输出就是甜甜圈的形状.

我们想象"画出" 这个曲面, 尽管我们不能像画曲线那样简单地用纸和笔画一个曲面.

实际上，我们的策略是画这个圆环的每个圆形的切片. 图中给出了一些我所说的切片的样例 (蓝色的部分):

我还在

x y

-平面上画了一个大的红色圆圈, 它穿过每个切片的中心. 这个红色的圆圈并不是圆环的一部分, 但对绘制每个蓝色的切片是很有用的参考点.

在实际问题中, 红色圆圈的半径可能会告诉你, 每个蓝色圆圈的半径也会是已知的. 这里, 我们随便指定红色圆圈的半径是

3

, 每个蓝色圆圈的半径是

1

, 选择不同的值, 则圆环的大小是不同的.

核心思想: 我们将把圆环上的每个点描述成两个向量的和:

向量 $\vec{c}$ ‍ 的起点是原点, 它指向红色圆圈上的某个点. 要确定这个点是红圈上的哪个点, 我们将会设计一个向量值函数, 它取决于参数 $t$ ‍. 当 $t$ ‍ 的值发生改变时, 用来描述红圈上的点的向量 $\vec{c} (t)$ ‍ 也会随之发生变化.
向量 $\vec{d}$ ‍ 的起点是红圈上的那个点, 它指向圆环上相应 "切片" 上的某个点. 这个向量的方向取决于它在红圈上的锚点, 因此向量 $\vec{d}$ ‍ 的值应该由上述用来描述红圈上的点的参数 $t$ ‍ 决定, 我们将推出第二个参数 $u$ ‍, 用它确定 $\vec{d}$ ‍ 指向蓝色圆圈上的哪部分.
向量 $\vec{(} d) (u, t)$ ‍ 从红色圆圈指向圆环自身上的某个点.

这意味着圆环上的每个点都将被描述为两个向量的和。

$\vec{c} (t) + \vec{d} (u, t)$ ‍

(如果你不熟悉用头-到-尾方法计算向量相加, 可参考这个视频).

为什么采用这个策略?

这里我们的思路是, 我们不知道怎样定义圆环上的点, 但我们确实知道怎样定义圆.

由于

x y

-平面上的这个大的红色圆圈是水平的, 它的半径是

3

, 我们可以用下面的方法把它参数化:

\begin{array}{r} \vec{c} (t) = 3 [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] = 3 \cos (t) \hat{i} + 3 \sin (t) \hat{j} + 0 \hat{k} \end{array}

现在, 向量值函数

\vec{d} (u, t)

应该也用来表述一个圆, 但困难在于, 我们想用

\vec{d} (u, t)

来画的这个圆环上的 (蓝色) 圆形切片有一个角度. 你如何在三维空间画一个有角度的圆?

好吧, 让我们已学会的知识开始. 我们知道, 在两维空间中, 以原点为中心的单位圆可以用下面这个参数函数来描述:

\begin{array}{r} g (u) = [\begin{matrix} \cos (u) \\ \sin (u) \end{matrix}] = \cos (u) \hat{i} + \sin (u) \hat{j} \end{array}

对于我们所需的蓝色圆形切片, 我们也用类似方法, 但把

\hat{i}

和

\hat{j}

变为不同的单位向量. 来看下面这张图:

我们不用

x

-方向上的单位向量

\hat{i}

来表示那个 "斜" 的方向, 我们用它来表示从原点出发, 辐射出去的一个单位向量, 我们称之为

\hat{v}

. 实际上，由于辐射出去的方向可能依赖于我们的起点,

\hat{v}

应该是取决于参数

t

的一个向量值函数, 所以我们把它写成

\hat{v} (t)

同样, 向 "上" 的方向不再用

\hat{j}

来表示, 而是用

z

-方向的单位向量

\hat{k}

来表示. 因此, 圆形切片的参数化结果是这样的：

\begin{array}{r} \vec{d} (u, t) = \cos (u) \hat{v} (t) + \sin (u) \hat{k} \end{array}

这会产生一个问题:

\hat{v} (t)

的公式是什么?

观察这张图, 从原点向外辐射的方向也用

\vec{c} (t)

来描述, 因此

\hat{v} (t)

的公式应该与

\vec{c} (t)

的公式相同, 只是缩减为一个单位向量.

\begin{aligned} \vec{c} (t) = 3 & [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] \leftarrow 不是一个单位向量 \\ ⇓ \\ \hat{v} (t) = & [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] \leftarrow 单位向量 \end{aligned}

也就是说

\vec{d} (u, t)

的完整表达式是

\begin{aligned} \vec{d} (u, t) & = \cos (u) \hat{v} (t) + \sin (u) \hat{k} \\ = \cos (u) [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] + \sin (u) [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} \cos (u) \cos (t) \\ \cos (u) \sin (t) \\ \sin (u) \end{array}] \end{aligned}

将其放在主页上

请记住, 我们定义

\vec{d} (u, t)

和

\vec{c} (t)

的全部原因是把圆环上的每个点描述成

\vec{c} (t) + \vec{d} (u, t)

. 把上述过程放在一起, 我们得到了下面这个双参数向量值函数:

\begin{aligned} \vec{f} (u, t) & = \vec{c} (t) + \vec{d} (u, t) \\ = 3 [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \cos (u) \cos (t) \\ \cos (u) \sin (t) \\ \sin (u) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (u) \cos (t) \\ 3 \sin (t) + \cos (u) \sin (t) \\ \sin (u) \end{array}] \end{aligned}

由于

u

在

0

到

2 π

的范围内取值, 函数

\vec{f} (u, t)

的输出就是蓝色切片上的每个点, 又由于

t

在

0

到

2 π

的范围内取值, 所有切片合在一起就形成了整个圆环.

如果我们从参数空间

0 \leq u \leq 2 π

和

0 \leq t \leq 2 π

里选择某些点, 然后观看他们移动到函数

\vec{f} (u, t)

的输出空间, 这个过程或许可以这样描画:

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总结

要绘制一个具有二维输入和三维输出的函数, 你可以从输入空间中选择某个区域, 画出这个区域对应的所有输出值的点. 这会生成一个面, 即所谓的 参数曲面.
将这个过程反过来, 从空间中的一个面着手, 试着找到一个函数, 函数的图形就是这个曲面, 就是 参数化 这个面. 一般来说, 这是一件棘手的事情.

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