主要内容

课程: 多变量微积分 > 单元 2

课程 3: 对向量值函数求导 (文章)

多变量链式法则, 简单版本

导数的链规则可以扩展到更高的维度. 在这里我们看到了在相对简单的情况下, 复合函数是一个单变量函数的样子。

背景知识

我们要做什么

已知一个多变量函数 $f (x, y)$ ‍, 和两个单变量函数 $x (t)$ ‍ 和 $y (t)$ ‍, 则多变量链式法则是:

\underset{复合函数的导数}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (x (t), y (t))}} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

写为向量形式,令 $\vec{v} (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]$ ‍, 利用 $f$ ‍的梯度和 $\vec{v} (t)$ ‍的向量导数为术语, 此法则具有非常简练的形式.

\underset{复合函数的导数}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t))}} = \overset{向量的点乘}{\overset{⏞}{\nabla f \cdot {\vec{v}}^{'} (t)}}

更常规的链式法则

正如大家可能想象的那样, 多变量链式法则是单变量微积分链式法则的推论. 单变量链式法则, 说明了如何求两个函数组合的导数:

\frac{d}{d t} f (g (t)) = \frac{d f}{d g} \frac{d g}{d t} = f^{'} (g (t)) g^{'} (t)

如果函数

f

有两个输入变量

(x, y)

, 而不是一个输入变量

t

会怎样?

f (x, y) = \dots 一些关于 x 和 y 的表达式 \dots

在这种情况下, 用标量函数

g (t)

来组合它是没有意义的. 相反, 假设有两个独立的标量值函数

x (t)

和

y (t)

, 将它们作为

f

的坐标代入. 总体的组合式子将是一个单变量函数, 这个函数只有一个输入值

t

，也只有一个输出值

f (x (t), y (t))

, 如这个图表所示:

\begin{array}{rrcl} 最后的输出 & f (x (t), y (t)) \\ ↗ & ↖ \\ 两个中间的输出 & x (t) & y (t) \\ ↖ & ↗ \\ 一个输入 & t \end{array}

关于这个新的单变量函数

f (x (t), y (t))

的计算,也有一个链式法则, 并且涉及到

f

的偏导数：

\begin{array}{ccccc} f 怎样变化 & x 怎样变化 \\ 因为 & 因为 \\ x 的 微 小 变 化 & t 的 微 小 变 化 \\ ↘ ↙ \\ \underset{↑}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t}}} f (x (t), y (t)) & = & \underset{↑}{\underset{⏟}{\overset{⏞}{\frac{\partial f}{\partial x}} \overset{⏞}{\frac{d x}{d t}}}} & + & \underset{↑}{\underset{⏟}{\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}}} \\ 这是一个普通的导数 & f 的 总 体 变 化 & f 的 总 体 变 化 \\ 不是偏导数 \frac{\partial}{\partial t} & 由于 & 由于 \\ 因为总体的组成 & t 对 x 的 影 响 & t 对 y 的 影 响 \\ 有一个输入值和一个输出值 \end{array}

需要注意,

\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}

是如下式子的简写

\frac{\partial f}{\partial x} (x (t), y (t)) \frac{d x}{d t} (t)

也就是说, 两者都是

t

的函数, 但

\frac{\partial f}{\partial x}

是由中间函数

x (t)

和

y (t)

表示的.

写为向量形式

与把

x (t)

和

y (t)

视为单独的函数相比, 我们更经常的，会将它们一同写成一个单变量向量值函数:

\vec{v} (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]

然后就可以将

f (x (t), y (t))

组合, 用

f (\vec{v} (t))

替代.

在这种形式下, 多变量链式法则可以更为紧凑的写为在

f

的梯度和

\vec{v} (t)

的向量导数之间的点乘的形式:

\begin{aligned} \frac{d}{d t} f (\vec{v} (t)) & = \underset{将这个和重写成点式}{\underset{⏟}{\frac{\partial f}{\partial x} (\vec{v} (t)) \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} (\vec{v} (t)) \frac{d y}{d t}}} \\ = \underset{\nabla f (\vec{v} (t))}{\underset{⏟}{[\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} (\vec{v} (t)) \\ \frac{\partial f}{\partial y} (\vec{v} (t)) \end{array}]}} \cdot \underset{{\vec{v}}^{'} (t)}{\underset{⏟}{[\begin{array}{c} \frac{d x}{d t} \\ \frac{d y}{d t} \end{array}]}} \\ = \nabla f (\vec{v} (t)) \cdot {\vec{v}}^{'} (t) \end{aligned}

这样写, 与单变量导数的类比就更加清晰了.

\begin{array}{r} \frac{d}{d t} f (g (t)) = f^{'} (g (t)) g^{'} (t) = \frac{d f}{d g} \cdot \frac{d g}{d t} \end{array}

梯度

\nabla f

扮演了

f

导数的角色, 向量导数

{\vec{v}}^{'} (t)

扮演了

g

普通导数的角色.

有关链式法则的直觉

一开始, 可以将单变量链式法则看做诸如

f (g (t))

一样的组合. 可以这样理解这个组合:

首先, $g$ ‍ 将数轴上的点 $t$ ‍映射到数轴上的另一个点 $g (t)$ ‍ .
然后 $f$ ‍ 将点 $g (t)$ ‍ 映射到数轴上的另一个点 $f (g (t))$ ‍

为了理解

f (g (t))

的导数, 就需要理解一个关于

t

的微小变动, 对最终输出的影响.

让我们深入研究下链式法则, 到底是怎么说的.

\frac{d}{d x} f (g (t)) = \frac{d f}{d g} \cdot \frac{d g}{d t}

表达式 $\frac{d g}{d t}$ ‍ 代表了, 一个关于 $t$ ‍的微小变化,是如何影响中间输出量 $g (t)$ ‍的。

表达式 $\frac{d f}{d g}$ ‍ 代表了一个 $g$ ‍的微小变化, 是如何影响到最终输出 $f (g (t))$ ‍的。

由于 $t$ ‍的小变化而造成的 $f$ ‍的总变化, 是这两个影响因素的乘积。
结合之前的两种解释, 如果 $g$ ‍的变化是由 $h$ ‍在 $t_{0}$ ‍的变化引起的, 那么这个对 $g (t_{0})$ ‍变化 $k$ ‍ 是
$k \approx (\frac{d g}{d t} (t_{0})) \cdot h$ ‍.
对 $k$ ‍代入这个值, 我们所关注的, 对 $f$ ‍的变化的结果是 $\begin{array}{r} (\frac{d f}{d g} g (t_{0})) \cdot (\frac{d g}{d x} (t_{0})) \cdot h \end{array}$ ‍
$h$ ‍ 越小, 这个估值越精准.
挑战性问题: 通过证明使这一点更加严密
$\begin{array}{r} lim_{h \to 0} \frac{f (g (t_{0} + h)) - f (g (t_{0}))}{h} \end{array}$ ‍
利用极限的基础定义 $\frac{d f}{d g}$ ‍ 和 $\frac{d g}{d t}$ ‍.
(提示: 从用某个极限值替换 $g (t_{0} + h)$ ‍ 开始).

将此直觉扩展到多维度

直觉对于多变量链规则是相似的. 可以把

\vec{v}

想成将数轴上的一点对应到

x y

-平面上的一点的映射, 把

f (\vec{v} (t))

想成将该点对应回到数轴上某个位置的映射. 问题是, 一个关于初始输入

t

的小的变化, 是怎样改变总输出

f (\vec{v} (t))

的?

我们分解一下多变量链式法则的意思, 将它分解为复合函数

x (t)

和

y (t)

的形式:

\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t)) = \frac{d}{d t} f (x (t), y (t)) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

表达式 $\frac{d x}{d t}$ ‍代表了 $t$ ‍的一个微小变化, 是如何影响中间变量 $x (t)$ ‍的。

同样的, 表达式 $\frac{d y}{d t}$ ‍代表了 $t$ ‍的微小变化是如何影响第二个中间变量 $y (t)$ ‍的。

表达式 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍代表了对于 $x$ ‍-组成部分 关于 $f$ ‍的一个微小的变化, 是如何影响输出的,类似的, 表达式 $\frac{\partial f}{\partial y}$ ‍记录了 对于 $y$ ‍-组成部分 关于 $f$ ‍的一个微小变化,是如何影响输出的。

$t$ ‍ 的微小变化影响 $f (x (t), y (t))$ ‍ 的一种方式是, 先改变 $x (t)$ ‍, 然后跟着影响 $f$ ‍. 这个效应由乘积 $\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}$ ‍表示。
$f$ ‍的变化是因为 $x (t)$ ‍的小变化, 这个变化跟着导致了 $t$ ‍的小变化, 表达式如下:
$\begin{aligned} f (x (t_{0} + h), y (t_{0})) & - f (x (t_{0}), y (t_{0})) \end{aligned}$ ‍
我们知道 $x (t_{0} + h)$ ‍ 很接近于
$\begin{array}{r} x (t_{0} + h) \approx x (t_{0}) + (\frac{d x}{d t} (t_{0})) h \end{array}$ ‍
所以我们关注的量现在变成了
$\begin{aligned} f (x (t_{0}) + (\frac{d x}{d t} (t_{0})) h, y (t_{0})) & - f (x (t_{0}), y (t_{0})) \end{aligned}$ ‍
但这个表达式, 只是在问, $f$ ‍的输入在 $x$ ‍ 坐标的某个微小的变化, 是如何影响到输出的. 使用偏导数 $x$ ‍, 该表达式可以得到很好的近似值:
$\begin{array}{r} (\frac{\partial f}{\partial x} (x (t_{0}), y (t_{0}))) \overset{x 的小变化}{\overset{⏞}{(\frac{d x}{d t} (t_{0})) h}} \end{array}$ ‍

$t$ ‍的变化影响 $f (x (t), y (t))$ ‍的另一种方式是, 先改变第二个中间变量 $y (t)$ ‍, 这个中间变量跟着影响输出 $f$ ‍. 这种效应由乘积 $\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}$ ‍表示.
将这两个乘积加起来, 就能得到 $f$ ‍的总变化.

与方向导数的联系

可以注意到, 多变量链式法则的点乘表达式, 看上去与方向导数很像:

\begin{array}{r} \nabla f (\vec{v} (t)) \cdot {\vec{v}}^{'} (t) \end{array}

事实上, 就是这样的!

{\vec{v}}^{'} (t_{0})

在特殊值

t_{0}

处的导数, 就是

f

自变量域的向量:

\begin{array}{r} {\vec{v}}^{'} (t_{0}) = [\begin{array}{c} x^{'} (t_{0}) \\ y^{'} (t_{0}) \end{array}] \end{array}

如果

\vec{v} (t)

被解释为这个空间内的一个参数路径, 比如可以想成是一个例子的运动轨迹, 那么在特定时间点

t_{0}

的导数, 就是该粒子在此时刻的速度向量.

在这种解释下, 链式法则告诉我们, 复合函数

f (\vec{v} (t))

是 $f$ ‍沿 $\vec{v} (t)$ ‍导数方向的向量导数.

这样就有意义了, 因为根据导数的定义, 对

t

的一个微小变化 "

d t

" ,会产生一个对输出量

\vec{v} (t)

的一个微小变化

d \vec{v}

. 然后方向导数的要点是对输入量

f

的一个微小变化

d \vec{v}

会产生一个微小变化

d f

, 正如公式

\frac{\partial f}{\partial \vec{v}} = \nabla_{\vec{v}} f

定义的那样.

例1: 使用或不适用新的链式法则

定义

f (x, y)

如下:

\begin{array}{r} f (x, y) = x^{2} y \end{array}

定义

\vec{v} (t)

如下:

\begin{array}{r} \vec{v} (t) = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}] \end{array}

求

\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t))

的导数.

不用链式法则的解法:

在使用我们新奇工具解决这个问题之前,值得指出的是, 是可以先将该组合, 写成单变量函数

t

的形式的：

\begin{aligned} f (\vec{v} (t)) & = f (\cos (t), \sin (t)) \\ = \cos (t)^{2} \sin (t) \end{aligned}

现在可以求普通导数:

\begin{aligned} \frac{d}{d t} \cos (t)^{2} \sin (t) \\ = \cos (t)^{2} (\cos (t)) + 2 \cos (t) (- \sin (t)) \sin (t) \\ = \cos^{3} (t) - 2 \cos (t) \sin^{2} (t) \end{aligned}

但是当然，这个例子的目的, 是让我们了解一下链式法则的感觉.

使用链式法则的解法:

首先, 明确的写出

\vec{v} (t)

的组成函数:

\begin{aligned} x (t) & = \cos (t) \\ y (t) & = \sin (t) \end{aligned}

根据链式法则,

\begin{aligned} \frac{d}{d t} f (\vec{v} (t)) & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} \end{aligned}

代入偏导数

f (x, y) = x^{2} y

以及普通导数

x (t) = \cos (t)

y (t) = \sin (t)

, 可以得到

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y) \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} y) \frac{d}{d t} (\sin (t)) \\ = (2 x y) (- \sin (t)) + (x^{2}) (\cos (t)) \end{aligned}

为了让所有的式子都用

t

表示, 代入

x = \cos (t)

和

y = \sin (t)

\begin{aligned} (2 x y) (- \sin (t)) + (x^{2}) (\cos (t)) \\ (2 \cos (t) \sin (t)) (- \sin (t)) + (\cos (t)^{2}) \cos (t) \\ = & - 2 \cos (t) \sin^{2} (t) + \cos^{3} (t) \end{aligned}

令人欣慰的是，这与不使用链式法则的答案相同。有人会认为, 这种新的链式规则使事情变得不必要地复杂，并且，对于像这样的具体计算，它常常是不需要的。

然而，正如下一个例题所示，这种方法, 对写出未知函数形式的方程是有用的。

例2: 未知函数

假设一个二维区域的温度, 随函数

T (x, y)

变化, 并且该函数未知. 你漫步在此区域, 对所到之处的温度采样,并且你的

x

和

y

坐标, 是时间的函数, 如下

\begin{aligned} x (t) & = 30 \cos (2 t) \\ y (t) & = 40 \sin (3 t) \end{aligned}

在测量时, 你发现自己路径上的温度, 从未改变过. 那关于

T

的偏导数,你能得出什么结论?

作为时间的函数, 您所经历的温度是

T (x (t), y (t)) = T (30 \cos (2 t), 40 \sin (3 t))

事实上，您经历的温度永远不变，意味着作为时间的函数，温度的导数，是

0

.。使用多变量链式法则，我们可以用

T

的偏导数的形式, 来写这个函数的导数:

\begin{aligned} \frac{d}{d t} T (x (t), y (t)) & = \frac{\partial T}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial T}{\partial y} \frac{d y}{d t} \\ = \frac{\partial T}{\partial x} \cdot 30 (2) (- \sin (2 t)) + \frac{\partial T}{\partial y} \cdot 40 (3) \cos (3 t) \\ = - \frac{\partial T}{\partial x} \cdot 60 \sin (2 t) + \frac{\partial T}{\partial y} \cdot 120 \cos (3 t) \end{aligned}

更确切的说, 我们应该在

(x, y) = (30 \cos (2 t), 40 \sin (3 t))

这里计算偏导数, 所以我们所知的此未知温度函数

T

的完整表达式是

\begin{aligned} 0 = - & \frac{\partial T}{\partial x} (30 \cos (2 t), 40 \sin (3 t)) \cdot 60 \sin (2 t) + \\ \frac{\partial T}{\partial y} (30 \cos (2 t), 40 \sin (3 t)) \cdot 120 \cos (3 t) \end{aligned}

总结

已知一个多变量函数 $f (x, y)$ ‍, 和两个单变量函数 $x (t)$ ‍ 和 $y (t)$ ‍, 则多变量链式法则是:

\underset{复合函数的导数}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (x (t), y (t))}} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

写为向量形式,令 $\vec{v} (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]$ ‍, 利用 $f$ ‍的梯度和 $\vec{v} (t)$ ‍的向量导数为术语, 此法则具有非常简练的形式.

\underset{复合函数的导数}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} f (\vec{v} (t))}} = \overset{向量的点乘}{\overset{⏞}{\nabla f \cdot {\vec{v}}^{'} (t)}}

想加入讨论吗？

排序方式:

尚无帖子。

你会英语吗？单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.