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课程: 多变量微积分 > 单元 2

课程 3: 对向量值函数求导 (文章)

参数曲面的偏导数, 第二部分

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如果有一个表示三维曲面的函数, 可以对其求偏导数. 在这里我们看到了如何去表示它, 以及如何去解释它。

背景知识

我们要做什么

在设置中，我们有一些带有二维输入和三维输出的矢量值函数:
$\vec{v} (s, t) = [\begin{matrix} x (s, t) \\ y (s, t) \\ z (s, t) \end{matrix}]$ ‍

它的偏导数是通过取每个分量的偏导数来计算的：

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (s, t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial t} (s, t) \\ \frac{\partial y}{\partial t} (s, t) \\ \frac{\partial z}{\partial t} (s, t) \end{array}] \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (s, t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial s} (s, t) \\ \frac{\partial y}{\partial s} (s, t) \\ \frac{\partial z}{\partial s} (s, t) \end{array}] \end{aligned}

您可以将这些偏导数解释为与定义向量 $\vec{v}$ ‍的参数曲面相切。

目标

假设给出一个具有二维输入和三维输出的函数，如下:

$\vec{v} (t, s) = [\begin{matrix} 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 3 \sin (t) + \sin (t) \cos (s) \\ \sin (s) \end{matrix}]$ ‍

由于输入是多维的，你不能采用这个函数的普通导数，但你可以采用偏导数。本文的重点是直观地了解这些偏导数的含义。

将函数解释为曲面

函数本身具有几何意义。由于它具有双坐标输入和三坐标输出，我们可以将其可视化为参数曲面。

具体而言, 考虑所有的输入

(t, s)

，

0 \leq t \leq 2 π

且

0 \leq s \leq 2 π

。这可以被看作 "

t s

-平面" 上的一个正方形。我将用棋盘图案绘制它，因为这样更容易理解。

对于任何给定的点

(t, s)

, 它的值

\vec{v} (t, s)

是三维空间中的某个点。

概念检查: 解释

\vec{v} (π, π)

。换句话说, 如果

(t, s) = (π, π)

，函数

\vec{v}

将在哪里?

设想一下对正方形中说有输入

(t, s)

都进行此项计算,每次在三维空间中得到一些点, 所有的输出结果将在三维空间中形成二维表面。我喜欢想象正方形中的没一点都移动到它在三维空间中适当的位置。

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结果是甜甜圈形状! 数学爱好者称这为圆环。

解释偏导数

关于 $t$ ‍ 的区别

若要计算此函数的偏导数,

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}

, 取每个分量的偏导数。

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) & = \frac{\partial}{\partial t} [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 3 \sin (t) + \sin (t) \cos (s) \\ \sin (s) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial t} (3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s)) \\ \frac{\partial}{\partial t} (3 \sin (t) + \sin (t) \cos (s)) \\ \frac{\partial}{\partial t} (\sin (s)) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - 3 \sin (t) - \sin (t) \cos (s) \\ 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 0 \end{array}] \end{aligned}

那么...... 这个新的向量值函数到底意味着什么呢？

计算这个偏导数需要将变量

s

视为常数。这在几何意义上意味着什么？

在

t s

-平面上,

s

的常量值与水平线相对应。

s = π / 2

, 这条线在这以红色绘制:

在这个方块变形并变形为圆环后，这条红线变成了一个圆圈，环绕在圆环周围

偏导数

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}

告诉我们当我们微调输入时，输出在

t

-方向上会略有变化。在这种情况下，表示该微移的向量（在下面以黄色绘制）被转换为与红色圆圈相切的向量，该向量表示表面上的

s

的常量值：

具体而言,用于上述图片的输入点是

(t_{0}, s_{0}) = (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})

。 T这意味着圆环上的点是

\begin{aligned} \vec{v} (\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) & = [\begin{array}{c} 3 \cos (π / 4) + \cos (π / 4) \cos (π / 2) \\ 3 \sin (π / 4) + \sin (π / 4) \cos (π / 2) \\ \sin (π / 2) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ 1 \end{array}] \end{aligned}

而切线向量是

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) & = [\begin{array}{c} - 3 \sin (π / 4) - \sin (π / 4) \cos (π / 2) \\ 3 \cos (π / 4) + \cos (π / 4) \cos (π / 2) \\ 0 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 0 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{array}] \end{aligned}

概念检查: 为什么这个切线向量的

z

-分量是

0

是有意义的?

关于 $s$ ‍ 的区别

与

s

相关的偏导数是相似的。您可以通过计算

\vec{v}

中的每个分量的偏导数来计算它：

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) = \frac{\partial}{\partial s} & [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 3 \sin (t) + \sin (t) \cos (s) \\ \sin (s) \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} - \cos (t) \sin (s) \\ - \sin (t) \sin (s) \\ \cos (s) \end{array}] \end{aligned}

这一次，我们可以想象保持

t

为常量以在参数空间中获得一些垂直的线。

当粒子沿着该线向上移动时，黄色箭头表示速度向量。也就是说当你保持

t

为常数时，改变

s

。方形通过函数

\vec{v}

变成圆环后, 红线和黄线的速度向量可能如下所示：

偏导数

\frac{\partial \vec{v}}{\partial s}

可以解释为环面上产生的速度向量。

总结

在设置中，我们有一些带有二维输入和三维输出的矢量值函数:
$\vec{v} (s, t) = [\begin{matrix} x (s, t) \\ y (s, t) \\ z (s, t) \end{matrix}]$ ‍

它的偏导数是通过取每个分量的偏导数来计算的：

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (s, t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial t} (s, t) \\ \frac{\partial y}{\partial t} (s, t) \\ \frac{\partial z}{\partial t} (s, t) \end{array}] \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (s, t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial s} (s, t) \\ \frac{\partial y}{\partial s} (s, t) \\ \frac{\partial z}{\partial s} (s, t) \end{array}] \end{aligned}

您可以将这些偏导数解释为与定义向量 $\vec{v}$ ‍的参数曲面相切。
比如，想象在输入空间中沿着 $t$ ‍方向推一个点，比如从坐标 $(s, t)$ ‍推向坐标 $(s, t + h)$ ‍的某个小 $h$ ‍这导致输出沿表面有一个小的推力，这个推理由向量 $h \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (s, t)$ ‍表示。

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