If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

参数曲面的偏导数, 第二部分

如果有一个表示三维曲面的函数, 可以对其求偏导数.  在这里我们看到了如何去表示它, 以及如何去解释它。

我们要做什么

  • 在设置中,我们有一些带有二维输入和三维输出的矢量值函数:
    v(s,t)=[x(s,t)y(s,t)z(s,t)]
它的偏导数是通过取每个分量的偏导数来计算的:
vt(s,t)=[xt(s,t)yt(s,t)zt(s,t)]
vs(s,t)=[xs(s,t)ys(s,t)zs(s,t)]
  • 您可以将这些偏导数解释为与定义向量v的参数曲面相切。

目标

假设给出一个具有二维输入和三维输出的函数,如下:
v(t,s)=[3cos(t)+cos(t)cos(s)3sin(t)+sin(t)cos(s)sin(s)]
由于输入是多维的,你不能采用这个函数的普通导数,但你可以采用偏导数。本文的重点是直观地了解这些偏导数的含义。

将函数解释为曲面

函数本身具有几何意义。 由于它具有双坐标输入和三坐标输出,我们可以将其可视化为参数曲面
具体而言, 考虑所有的输入 (t,s)0t2π0s2π。 这可以被看作 "ts-平面" 上的一个正方形。我将用棋盘图案绘制它,因为这样更容易理解。
两个参数输入空间
对于任何给定的点 (t,s), 它的值 v(t,s) 是三维空间中的某个点。
概念检查: 解释 v(π,π)。 换句话说, 如果 (t,s)=(π,π),函数 v 将在哪里?
选出正确答案:

设想一下对正方形中说有输入 (t,s) 都进行此项计算,每次在三维空间中得到一些点, 所有的输出结果将在三维空间中形成二维表面。我喜欢想象正方形中的没一点都移动到它在三维空间中适当的位置。
可汗学院视频播放器
结果是甜甜圈形状! 数学爱好者称这为圆环。

解释偏导数

关于 t 的区别

若要计算此函数的偏导数, vt, 取每个分量的偏导数。
vt(t,s)=t[3cos(t)+cos(t)cos(s)3sin(t)+sin(t)cos(s)sin(s)]=[t(3cos(t)+cos(t)cos(s))t(3sin(t)+sin(t)cos(s))t(sin(s))]=[3sin(t)sin(t)cos(s)3cos(t)+cos(t)cos(s)0]
那么...... 这个新的向量值函数到底意味着什么呢?
计算这个偏导数需要将变量s视为常数。这在几何意义上意味着什么?
ts-平面上, s 的常量值与水平线相对应。 s=π/2, 这条线在这以红色绘制:
在输入空间中保持s为常量。
在这个方块变形并变形为圆环后,这条红线变成了一个圆圈,环绕在圆环周围
在输出空间中保持s为常量。
偏导数 vt 告诉我们当我们微调输入时,输出在t-方向上会略有变化。 在这种情况下,表示该微移的向量(在下面以黄色绘制)被转换为与红色圆圈相切的向量,该向量表示表面上的s的常量值:
在输入空间中微调 t
在输出空间中微调 t
具体而言,用于上述图片的输入点是 (t0,s0)=(π4,π2)。 T这意味着圆环上的点是
v(π4,π2)=[3cos(π/4)+cos(π/4)cos(π/2)3sin(π/4)+sin(π/4)cos(π/2)sin(π/2)]=[322+22(0)322+22(0)1]=[3223221]
而切线向量是
vt(π4,π2)=[3sin(π/4)sin(π/4)cos(π/2)3cos(π/4)+cos(π/4)cos(π/2)0]=[32222(0)322+22(0)0]=[3223220]
概念检查: 为什么这个切线向量的 z-分量是 0 是有意义的?
选出正确答案:

关于 s 的区别

s相关的偏导数是相似的。 您可以通过计算v中的每个分量的偏导数来计算它:
vs(t,s)=s[3cos(t)+cos(t)cos(s)3sin(t)+sin(t)cos(s)sin(s)]=[cos(t)sin(s)sin(t)sin(s)cos(s)]
这一次,我们可以想象保持t为常量以在参数空间中获得一些垂直的线。
在输入空间中微调 s
当粒子沿着该线向上移动时,黄色箭头表示速度向量。 也就是说当你保持 t 为常数时,改变s。 方形通过函数 v变成圆环后, 红线和黄线的速度向量可能如下所示:
在输出空间中微调 s
偏导数vs 可以解释为环面上产生的速度向量。

总结

  • 在设置中,我们有一些带有二维输入和三维输出的矢量值函数:
    v(s,t)=[x(s,t)y(s,t)z(s,t)]
它的偏导数是通过取每个分量的偏导数来计算的:
vt(s,t)=[xt(s,t)yt(s,t)zt(s,t)]
vs(s,t)=[xs(s,t)ys(s,t)zs(s,t)]
  • 您可以将这些偏导数解释为与定义向量v的参数曲面相切。
  • 比如,想象在输入空间中沿着t方向推一个点,比如从坐标(s,t)推向坐标(s,t+h)的某个小h这导致输出沿表面有一个小的推力,这个推理由向量hvt(s,t)表示。

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.