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主要内容

多变量微积分

课程: 多变量微积分 > 单元 2

课程 3: 对向量值函数求导 (文章)
数学
多变量微积分
多元函数示例
对向量值函数求导 (文章)
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参数曲面的偏导数, 第二部分

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如果有一个表示三维曲面的函数, 可以对其求偏导数.  在这里我们看到了如何去表示它, 以及如何去解释它。

背景知识

我们要做什么

  • 在设置中，我们有一些带有二维输入和三维输出的矢量值函数:
    v⃗(s,t)=[x(s,t)y(s,t)z(s,t)] \vec{\textbf{v}}(s, t) = \left[ \begin{array}{c} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \\ \end{array} \right]
它的偏导数是通过取每个分量的偏导数来计算的：
∂v⃗∂t(s,t)=[∂x∂t(s,t)∂y∂t(s,t)∂z∂t(s,t)]\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\blueE{\partial t}}(s, t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial x}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \dfrac{\partial y}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \dfrac{\partial z}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}
∂v⃗∂s(s,t)=[∂x∂s(s,t)∂y∂s(s,t)∂z∂s(s,t)]\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\redE{\partial s}}(s, t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial x}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \dfrac{\partial y}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \dfrac{\partial z}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}
  • 您可以将这些偏导数解释为与定义向量start bold text, v, end bold text, with, vector, on top的参数曲面相切。

目标

假设给出一个具有二维输入和三维输出的函数，如下:
v⃗(t,s)=[3cos⁡(t)+cos⁡(t)cos⁡(s)3sin⁡(t)+sin⁡(t)cos⁡(s)sin⁡(s)] \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} 3\cos(t) + \cos(t)\cos(s) \\ 3\sin(t) + \sin(t)\cos(s) \\ \sin(s) \end{array} \right]
由于输入是多维的，你不能采用这个函数的普通导数，但你可以采用偏导数。本文的重点是直观地了解这些偏导数的含义。

将函数解释为曲面

函数本身具有几何意义。 由于它具有双坐标输入和三坐标输出，我们可以将其可视化为参数曲面。
具体而言, 考虑所有的输入 left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis ， 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi 且 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, 2, pi。 这可以被看作 "t, s-平面" 上的一个正方形。我将用棋盘图案绘制它，因为这样更容易理解。
两个参数输入空间
对于任何给定的点 left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, 它的值 start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis 是三维空间中的某个点。
概念检查: 解释 start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, pi, comma, pi, right parenthesis。 换句话说, 如果 left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, equals, left parenthesis, pi, comma, pi, right parenthesis，函数 start bold text, v, end bold text, with, vector, on top 将在哪里?
选出正确答案：

设想一下对正方形中说有输入 left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis 都进行此项计算,每次在三维空间中得到一些点, 所有的输出结果将在三维空间中形成二维表面。我喜欢想象正方形中的没一点都移动到它在三维空间中适当的位置。
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结果是甜甜圈形状! 数学爱好者称这为圆环。

解释偏导数

关于 start color #0c7f99, t, end color #0c7f99 的区别

若要计算此函数的偏导数, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, 取每个分量的偏导数。
∂v⃗∂t(t,s)=∂∂t[3cos⁡(t)+cos⁡(t)cos⁡(s)3sin⁡(t)+sin⁡(t)cos⁡(s)sin⁡(s)]=[∂∂t(3cos⁡(t)+cos⁡(t)cos⁡(s))∂∂t(3sin⁡(t)+sin⁡(t)cos⁡(s))∂∂t(sin⁡(s))]=[−3sin⁡(t)−sin⁡(t)cos⁡(s)3cos⁡(t)+cos⁡(t)cos⁡(s)0]\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, s) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{t}} \left[ \begin{array}{c} 3\cos(\blueE{t}) + \cos(\blueE{t})\cos(s) \\ \\ 3\sin(\blueE{t}) + \sin(\blueE{t})\cos(s) \\ \\ \sin(s) \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{t}}(3\cos(\blueE{t}) + \cos(\blueE{t})\cos(s)) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \blueE{t}}(3\sin(\blueE{t}) + \sin(\blueE{t})\cos(s)) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \blueE{t}}(\sin(s)) \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} -3\sin(t) - \sin(t)\cos(s) \\ \\ 3\cos(t) + \cos(t)\cos(s) \\ \\ 0 \end{array} \right] \\ \end{aligned}
那么...... 这个新的向量值函数到底意味着什么呢？
计算这个偏导数需要将变量s视为常数。这在几何意义上意味着什么？
在 t, s-平面上, s 的常量值与水平线相对应。 s, equals, pi, slash, 2, 这条线在这以红色绘制:
在输入空间中保持s为常量。
在这个方块变形并变形为圆环后，这条红线变成了一个圆圈，环绕在圆环周围
在输出空间中保持s为常量。
偏导数 start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction 告诉我们当我们微调输入时，输出在t-方向上会略有变化。 在这种情况下，表示该微移的向量（在下面以黄色绘制）被转换为与红色圆圈相切的向量，该向量表示表面上的s的常量值：
在输入空间中微调 t
在输出空间中微调 t
具体而言,用于上述图片的输入点是 left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, comma, s, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, right parenthesis。 T这意味着圆环上的点是
v⃗(π4,π2)=[3cos⁡(π/4)+cos⁡(π/4)cos⁡(π/2)3sin⁡(π/4)+sin⁡(π/4)cos⁡(π/2)sin⁡(π/2)]=[322+22(0)322+22(0)1]=[3223221]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2} \right) &= \left[ \begin{array}{c} 3\cos(\pi/4) + \cos(\pi/4)\cos(\pi/2) \\ 3\sin(\pi/4) + \sin(\pi/4)\cos(\pi/2) \\ \sin(\pi/2) \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} 3\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(0) \\ 3\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(0) \\ 1 \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ \\ \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ \\ 1 \end{array} \right] \\ \end{aligned}
而切线向量是
∂v⃗∂t(π4,π2)=[−3sin⁡(π/4)−sin⁡(π/4)cos⁡(π/2)3cos⁡(π/4)+cos⁡(π/4)cos⁡(π/2)0]=[−322−22(0)322+22(0)0]=[−3223220]\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2} \right) &= \left[ \begin{array}{c} -3\sin(\pi/4) - \sin(\pi/4)\cos(\pi/2) \\ 3\cos(\pi/4) + \cos(\pi/4)\cos(\pi/2) \\ 0 \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} -3\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}(0) \\ 3\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(0) \\ 0 \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} -\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{array} \right] \\ \end{aligned}
概念检查: 为什么这个切线向量的 z-分量是 0 是有意义的?
选出正确答案：

关于 start color #bc2612, s, end color #bc2612 的区别

与s相关的偏导数是相似的。 您可以通过计算start bold text, v, end bold text, with, vector, on top中的每个分量的偏导数来计算它：
∂v⃗∂s(t,s)=∂∂s[3cos⁡(t)+cos⁡(t)cos⁡(s)3sin⁡(t)+sin⁡(t)cos⁡(s)sin⁡(s)]=[−cos⁡(t)sin⁡(s)−sin⁡(t)sin⁡(s)cos⁡(s)]\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, \redE{s}) = \dfrac{\partial}{\partial \redE{s}} &\left[ \begin{array}{c} 3\cos(t) + \cos(t)\cos(\redE{s}) \\ 3\sin(t) + \sin(t)\cos(\redE{s}) \\ \sin(\redE{s}) \end{array} \right] \\ = &\left[ \begin{array}{c} -\cos(t)\sin(s) \\ -\sin(t)\sin(s) \\ \cos(s) \end{array} \right] \\ \end{aligned}
这一次，我们可以想象保持t为常量以在参数空间中获得一些垂直的线。
在输入空间中微调 s
当粒子沿着该线向上移动时，黄色箭头表示速度向量。 也就是说当你保持 t 为常数时，改变s。 方形通过函数 start bold text, v, end bold text, with, vector, on top变成圆环后, 红线和黄线的速度向量可能如下所示：
在输出空间中微调 s
偏导数start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, s, end fraction 可以解释为环面上产生的速度向量。

总结

  • 在设置中，我们有一些带有二维输入和三维输出的矢量值函数:
    v⃗(s,t)=[x(s,t)y(s,t)z(s,t)] \vec{\textbf{v}}(s, t) = \left[ \begin{array}{c} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \\ \end{array} \right]
它的偏导数是通过取每个分量的偏导数来计算的：
∂v⃗∂t(s,t)=[∂x∂t(s,t)∂y∂t(s,t)∂z∂t(s,t)]\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\blueE{\partial t}}(s, t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial x}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \dfrac{\partial y}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \dfrac{\partial z}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}
∂v⃗∂s(s,t)=[∂x∂s(s,t)∂y∂s(s,t)∂z∂s(s,t)]\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\redE{\partial s}}(s, t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial x}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \dfrac{\partial y}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \dfrac{\partial z}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}
  • 您可以将这些偏导数解释为与定义向量start bold text, v, end bold text, with, vector, on top的参数曲面相切。
  • 比如，想象在输入空间中沿着start color #0c7f99, t, end color #0c7f99方向推一个点，比如从坐标left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis推向坐标left parenthesis, s, comma, t, plus, start color #bc2612, h, end color #bc2612, right parenthesis的某个小start color #bc2612, h, end color #bc2612这导致输出沿表面有一个小的推力，这个推理由向量start color #bc2612, h, end color #bc2612, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis表示。

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