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课程: 多变量微积分 > 单元 1

课程 1: 可视化多元函数（文章）

等高线地图

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当不方便绘制三维图形时，等高线图图是能够表示具有二维输入和一维输出的函数的有用替代方法。

背景知识

过程

等高线图可用来描述那些具有二维输入和一维输出的函数. 现在我们来看看这个函数:

$f (x, y) = x^{4} - x^{2} + y^{2}$ ‍.

用图形的方法, 我们将输入

(x, y)

与输出

f (x, y)

对应起来的方式是将二者结合起来, 形成一个由三个数组成的数组

(x, y, f (x, y))

, 并将这个数组绘制成三维空间中的一个点. 图形由所有点

(x, y, f (x, y))

组成, 构成某种类型的面.

但有时绘制一个三维图像可能是很繁重的任务, 或很难在纸上手工绘制. 等高线图为我们提供了一种方法, 用这种方法我们只需在二维输入空间中画图来描述函数.

下面看看它是如何做到的：

步骤 1: 从绘制函数图形开始.

步骤 2: 用几个均匀间隔的水平平面切割这个图形, 每个平面都与 $x y$ ‍-平面平行. 你也可以把这些平面想成当 $z$ ‍ 等于某个给定的输出, 比如 $z = 2$ ‍时, 所形成的斑块.

步骤 3: 标记平面与图形相交的线.

步骤 4: 将这些线投影到 $x y$ ‍-平面, 并将他们对应的高度标出来.

换句话说, 你选择一组输出值来描述函数, 对这些输出值中的每一个, 你 画出一条线, 这条线包含且仅包含所有函数值 $f (x, y)$ ‍ 为输出值的输入值 $(x, y)$ ‍. 为了清楚地知道哪条线对应哪个值, 人们通常在每条线旁标注适当的数字.

注: 输出值的选择, 比如本例中的

{- 2, - 1, 0, 1, 2}

, 应该平均分布. 这样, 我们通过观察登高线更容易理解函数的"形状".

例 1: 抛物面

考虑函数

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

. 它的图形的形状是熟知的 "抛物面", 是抛物线的三维图形.

以下是其等高线图的样子:

请注意, 这些圆并不平均分布. 这是因为当你远离原点时, 图形的高度增加得更快. 因此, 如果高度按给定的量增加, 那么在输入空间里, 离开原点的步伐就会逐渐变小.

例 2: 波浪

函数

f (x, y) = \cos (x) \cdot \sin (y)

又是什么样子的呢? 它的图形看起来很像波浪起伏:

下面是它的等高线图:

值得指出的一点是, 在等高线图上, 波峰和波谷看起来很像, 只能通过高度的标示来分辨.

例 3: 线性函数

接下来, 我们看看函数

f (x, y) = x + 2 y

. 它的图形是一个倾斜的平面.

它的等高线图由平均分布的直线组成:

例 4: 真正的等高线图

等高线常常用于实际的地图中, 用来描绘丘陵地形的高度. 例如, 右边的图形描绘的是月球上的一个陨石坑.

想像一下在这个坑里散步. 那些等高线密集的地方, 坡度很陡. 例如, 你从

7700

米的高度下行到高度为

7650

米的地方, 这两个高度之间的距离很短. 底部的线分布稀松, 地势就平坦得多, 高度

7650

米与高度

7628

米之间的距离较长.

‘等’-前缀

等高线图上的线条有不同的名称:

等高线.
水平线组, 这样命名是因为他们代表了当图形的高度保持不变时, $(x, y)$ ‍ 的值, 因而称之水平.
等值线, 这里 "等" 是前缀, 意思是 "相同".

根据等高线图所代表的不同含义, 等这个前缀可能与许多不同的事物相连. 下面是天气图中的两个常见例子.

等温线 是表示温度函数的等高线.
等压线 是表示压力的等高线.

等高线图带来的直观感受

你可以根据等高线的密集程度来判断图形上某一区域有多陡. 当线与线彼此间隔较远, 高度的增加对应较长的横向距离, 但如果线与线挨得很近, 一个小的横向增量对应较快的高度增长.

在接近图形的顶峰的地方, 与高度相关的水平线组变成了一组越来越小的封闭圆环, 每个都包围着下一个. 在图形低谷的地方情形与此类似. 这意味着你可以用等高线图来找到函数的最大值和最小值, 你只需寻找一个套一个的圆环, 看起来就像一堆扭曲的同心圆.

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