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多变量微积分

课程: 多变量微积分 > 单元 1

课程 1: 可视化多元函数（文章）

多维图形

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绘制多元函数图形的示例和限制。

背景知识

多元函数

我们要做什么

我们可以在三维空间中绘制点来表示一个具有二维输入和一维输出的函数.
它最终看起来像一个三维的面, 这个面在 $x y$ ‍-平面以上的高度表示每个点上的函数值.

回顾一元函数的图形

到目前为止, 图形是大多数学生最熟悉的将函数可视化的方法。在推广到多元函数之前, 让我们快速回顾一下一元函数如何用图形表达。

假设函数如下所示:

\begin{array}{r} f (x) = - x^{2} + 3 x + 2 \end{array}

要处理单变量输入, 比如

x = 1

, 我们要先求出

f (1)

\begin{aligned} f (1) & = - x^{2} + 3 x + 2 \\ = - (1)^{2} + 3 (1) + 2 \\ = 4 \end{aligned}

我们在

x y

-坐标平面上绘制点

(1, f (1))

. 在本例中, 就是标记点

(1, 4)

对于

x

的所有可能的输入值, 不仅限于

1

, 会形成对应的点

(x, f (x))

, 我们从下图可以看到这些点组成的图形。

除非

f (x)

是某些奇特的函数, 当

x

发生很小的变化时, 函数值发生很大的变化, 否则函数曲线将是一条光滑的曲线.

增加一个维度

那么对于具有二维输入和一维输出的函数, 我们怎么处理呢? 也许应该这样:

$f (x, y) = (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + 2$ ‍

将输入和输出对应起来需要三个数字—两个用于输入, 一个用于输出.

		输入 $(x, y)$ ‍	输出 $f (x, y)$ ‍
		$(0, 0)$ ‍	$10$ ‍
		$(1, 0)$ ‍	$7$ ‍
		$(1, 2)$ ‍	$3$ ‍
		$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

我们在三维图中绘制点, 用图形来表示这些对应关系.

对应关系 $(0, 0) \to 10$ ‍ 在图中表示为点 $(0, 0, 10)$ ‍.
对应关系 $(1, 0) \to 7$ ‍ 在图中表示为点 $(1, 0, 7)$ ‍.
总之, 我们的目的是为某些数对 $x$ ‍ 和 $y$ ‍ 找到所有 $(x, y, f (x, y))$ ‍ 形式的点.

生成的图如下所示. 视频显示这是一个旋转的图形, 希望它有助于你理解这个图的三维特性. 你也可以从下图中看到

x y

-坐标平面—它在这里是输入空间.

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这意味着对于平面上任意给定点

(x, y)

, 图形与该点之间的垂直距离就是

f (x, y)

的值. 垂直方向通常用 $z$ ‍-方向 表示, 垂直于

x y

-平面的第三个轴叫做 $z$ ‍-轴.

只要

f (x, y)

的值随

x

和

y

的变化而连续变化—在实践中我们几乎总是遇到这种类型的函数— 那么这张图最终总是呈现为一个面.

例 1: 钟形曲线

函数:

f (x, y) = e^{- (x^{2} + y^{2})}

图:

让我们来分析一下这个函数的情况. 首先, 我们看看

e^{- (x^{2} + y^{2})}

的指数里面, 考虑

x^{2} + y^{2}

的值.

问题: 你怎样解释

x^{2} + y^{2}

的值?

选出正确答案：
(选择 A)
输入空间里点 $(x, y)$ ‍ 和原点 $(0, 0)$ ‍ 之间的距离
(选择 B)
输入空间里点 $(x, y)$ ‍ 和原点 $(0, 0)$ ‍ 距离的平方.
(选择 C)
某个输入 $(x, y)$ ‍ 和图上它对应的点之间的距离.
(选择 D)
某个输入 $(x, y)$ ‍ 和图上它对应的点之间的距离的平方.

[显示答案]

当点

(x, y)

远离原点时, 函数

e^{- (x^{2} + y^{2})}

是这样的

e^{(某个很大的负数)}

, 它接近于零. 这意味着在那些点图形与

x y

-平面的距离非常小. 另一方面, 当

x = 0

y = 0

e^{- (x^{2} + y^{2})} = e^{- 0} = 1

, 这就是中间隆起的原因.

延伸思考: 上面这个图形是轴对称图形，也就是说, 如果我们将它围绕

z

-轴以任何方式旋转, 它看起来都是一样的. 这是为什么?

[显示答案]

例 2: 波形曲线

函数:

f (x, y) = \cos (x) \cdot \sin (y)

图:

观察函数

f (x, y) = \cos (x) \sin (y)

—以及其他多元函数—如何变化的一个方法是保持某个输入不变, 看看会发生什么.

例如, 当我们将

x

的值固定为

2

时会发生什么情况? 通常, 我们这样绘制所有的点:

$(x, y, \cos (x) \sin (y)) \leftarrow x 和 y 取任意值.$ ‍

通过将

x

值保持为常数

2

, 图上的点会呈现下面这样的形式:

$(2, y, \cos (2) \sin (y)) \leftarrow 只有 y 取任意值.$ ‍

我们可以用一种很巧妙的几何方法做出解释:

在空间中所有

x = 2

的点，也就是说所有

(2, y, z)

构成的点, 组成一个平面. 为什么? 想像用这个平面切割图形. 平面和图形相交的点—上图中红色的曲线—就是图形上所有

x = 2

的点.

那么, 这为什么会有助于理解图形呢？

通过上述方法我们将多元函数

f (x, y) = \cos (x) \sin (y)

变成了一个一元函数:

\begin{aligned} g (y) & = \cos (2) \sin (y) \\ \approx - 0.42 \sin (y) \end{aligned}

实际上，我们通过在

x = 2

处切割这个三维图形得到与

g (y)

一样的二维图形.

用这种方法, 你通过使一个变量保持不变, 一次切割一片, 查看生成的二维图形, 可以理解一个多元函数的三维图形。

例 3: 一元输入, 二元输出

你还可以绘制具有一维输入和二维输出的函数的图形, 尽管, 无论出于何种原因, 通常这并不容易完成.

函数:

f (x) = (x^{2}, \sin (x))

我们要绘制的点:

(x, x^{2}, \sin (x))

图:

在本例中, 只有

x

可以任意取值, 而图形上

y

和

z

的值都取决于

x

如果我们旋转图像使我们正对

x y

-平面, 那么我们得到的图形是

f (x) = x^{2}

. 另一种解释是, 当我们将图形投影到

x y

-平面, 则显示的是

f (x) = x^{2}

的图形.

同样, 我们旋转图形使

x z

-平面正对我们, 那么我们得到的是

f (x) = \sin (x)

的图形.

换言之, 函数

f (x) = (x^{2}, \sin (x))

将两个函数

f (x) = x^{2}

和

f (x) = \sin (x)

合并成一个, 它的图形将两个函数的信息反映在一个图像里.

限制

一旦你试图将此过程应用于更高维度的输入和输出的函数, 你会发现维度被用尽了, 无法轻松地将函数可视化.

例如, 让我们考虑这个具有二维输入和输出的函数

f (x, y) = (x^{2}, y^{2})

. 绘制它的图形需要四维空间! 这是因为我们需要绘制形式为

(x, y, x^{2}, y^{2})

的所有点.

[尝试可视化这个四维图形]

在实践中, 当人们考虑更高维度的函数时, 像

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

, 通常考虑一些更简单函数的图形, 如二维输入和一维输出

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

. 这是一种概念原型.

这样的原型可以帮助我们理解某些运算, 并可以帮助理解当输入空间变的多维时情况会怎样变化. 最后, 多元函数的计算实际上只具有象征意义。

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