什么是多元函数?

我们要做什么

• 一个函数, 如果它的输入由多个数组成, 那么它被称为 多元 函数.
  $\quad \displaystyle f(\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{x, y}_{\substack{ \text{Multiple numbers} \\ \text{输入不止一个数} }} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!) = x^2 y$
• 如果一个函数的输出包括多个数, 它也被称为多元函数, 但通常称之为 向量值函数.
  $\displaystyle f(x) = \left[ \begin{array}{c} \cos(x) \\ \sin(x) \end{array} \right] \quad\leftarrow \small{\text{输出不止一个数}}$
• 想要形象地理解这些函数, 我们只需想像这些函数存在于一个多维空间(如果我们不想让自己的脑袋想爆的话, 一般情况下只需考虑二或三个维度 ).

什么是多元函数?

多个数字 $\leftrightarrow$\leftrightarrow 空间中的点

向量值函数

术语

多元函数示例

例 1: 位置和温度

• $T$T 代表气温.
• $L_1$L, start subscript, 1, end subscript 代表经度.
• $L_2$L, start subscript, 2, end subscript 代表纬度.
• $f$f 是某个复杂的函数, 用来表示任一地方(用经度-纬度表示)对应的气温.

例 2: 时间和位置

• $\vec{\textbf{s}}$start bold text, s, end bold text, with, vector, on top 是一个二或三维的 "位移向量", 表示粒子的位置.
• $t$t 代表时间.
• $f$f 是向量值函数.

例 3: 用户数据和预测

例 4: 位置和速度向量

• $\vec{\textbf{v}}$start bold text, v, end bold text, with, vector, on top 是一个二维的速度向量.
• $x$x 和 $y$y 是位置坐标.
• $f$f 是一个多元的向量值函数.

• $\vec{\textbf{v}}$start bold text, v, end bold text, with, vector, on top 是一个二维速度向量.
• $\hat{\textbf{i}}$start bold text, i, end bold text, with, hat, on top 是 $x$x-方向的单位向量.
• $\hat{\textbf{j}}$start bold text, j, end bold text, with, hat, on top 是 $y$y-方向的单位向量.
• $g$g 是一个标量值函数, 表示每个向量(位置的函数)的 $x$x 部分.
• $h$h 是一个标量值函数, 表示每个向量(位置的函数)的 $y$y 部分.

微积分适用的地方

• 导数, 它研究当输入变化时一个函数的 变化率 .
• 积分, 它研究怎样把组成某函数输出值的 无穷多无穷小的数量相加 .

• 当你沿某方向移动时温度如何改变.
• 当网站的某些方面做出改变后, 某消费者在线购物行为的变化.
• 流速在空间里的波动.

• 求平均气温.
  [ "无限聚合" 是怎么回事?]
• 计算当某粒子移动时外力对其所做的所有的功.
• 描述某流体在一整块区域内的净流速.