主要内容

课程: 多变量微积分 > 单元 1

课程 1: 可视化多元函数（文章）

什么是多元函数?

Google课堂

多元函数概述，简要介绍将微积分应用于此类函数的外观

我们要做什么

一个函数, 如果它的输入由多个数组成, 那么它被称为多元函数.
$f (\underset{\begin{matrix} Multiple numbers \\ 输入不止一个数 \end{matrix}}{\underset{⏟}{x, y}}) = x^{2} y$ ‍
如果一个函数的输出包括多个数, 它也被称为多元函数, 但通常称之为 向量值函数.
$f (x) = [\begin{matrix} \cos (x) \\ \sin (x) \end{matrix}] \leftarrow 输出不止一个数$ ‍
想要形象地理解这些函数, 我们只需想像这些函数存在于一个多维空间(如果我们不想让自己的脑袋想爆的话, 一般情况下只需考虑二或三个维度 ).

什么是多元函数?

当我初次接触函数的时候 -- 或许你也是这样 -- 我记得我总是想像函数会输入一个数, 然后又输出一个数. 一个典型的例子是:

f (x) = x^{2}

或者这个:

f (x) = \sin (x) + 2 \sqrt{x}

回想你第一次学习函数时的情景, 可能老师会告诉你, 函数就像一台机器, 它吞进某个数, 经过某些操作后, 就会吐出某个值.

可汗学院视频播放器

查看视频字幕

但实际上，函数不止是吃进和吐出数, 函数可以吃进任何东西并吐出任何东西. 在多元微积分中, 那个"东西" 可以是一列数字. 也就是说, 输入和/或输出可以包含多个数.

可汗学院视频播放器

查看视频字幕

**不同类型函数的示例**
	单数字输入	多数字输入
单数字输出	$f (x) = x^{2}$ ‍	$f (x, y) = x^{2} + y^{3}$ ‍
多数字输出	$f (t) = (\cos (t), \sin (t))$ ‍	$f (u, v) = (u^{2} - v, v^{2} + u)$ ‍

一个 多元函数 指的是输入和/或输出由多个数字组成. 相反, 如果一个函数的输入和输出都是单个数字, 那么我们称之为 一元函数.

注意: 有些作者和老师所说的多元函数仅指的是输入是多元的, 而不考虑输出是否多元.

多个数字 $\leftrightarrow$ ‍ 空间中的点

我们让多元微积分变得更好理解的方法是让它可视化, 所有你要学习的新的微积分内容都可以用这种方法操作, 即运用多维空间来使它变得形象.

举个例子, 假设某个函数的输入是一对数, 例如

(2, 5)

. 你可能认为它是两个不同的东西: 数字2和数字5.

然而, 更常见的是用二维空间中的一个点来表示像

(2, 5)

这样的数对, 它的

x

-坐标是

2

y

-坐标是

5

同样, 我们把像

(3, 1, 2)

这样的由三个数字组成的数组考虑成三维空间中的一个点, 而不是三个不同的数.

可汗学院视频播放器

查看视频字幕

因此, 多元函数就是一个空间中的点与另一个空间中的点之间的对应关系. 例如, 函数

f (x, y) = x^{2} y

, 它的输入是两个变量, 输出是一个变量, 它表示的是

x y

-平面上的点与数轴上的点之间的对应关系. 函数

f (x, y, z) = (y z, x z, x y)

表示三维空间中的点与该空间中的其他点之间的对应关系.

在接下来的几篇文章中, 我将研究各种方法来可视化这些函数. 你可以看到可视化操作的结果可以非常美, 它对理解某个公式为什么是那样的非常有帮助。然而, 有时也会让人感到困惑, 特别是在涉及维数大于三个的情况下。

最终我们会意识到, 说到底, 这都只是数字。也许是一对数字变成了一个由三个数字组成的数组, 或者是一个由一百个数字组成的数组变成了一个由十万个数字组成的数组, 但最终你执行的或者电脑执行的任何任务实际上都是一次完成一个数。

向量值函数

有时一个数组, 如

(2, 5)

, 我们不把它考虑成空间中的一个点 , 而是一个向量. 也就是说, 一个带箭头的向量线, 当你从箭尾移动到箭头时, 你会向右移动

2

个单位, 向上移动

5

个单位.

为了强调概念上的差别, 通常我们使用不同的表示方法, 或者纵向排列这些数字,

[\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}]

, 或者用符号

\hat{i}

代表

x

-部分,

\hat{j}

代表

y

-部分:

2 \hat{i} + 5 \hat{j}

当然, 这只是概念上的差异. 无论你选择用带箭头的线段亦或一个点来表示, 一个数组就是一个数组. 然而, 有时根据上下文, 用向量表示会让人感觉更自然. 例如, 速度和力, 几乎总是用向量表示, 因为这让涉及速度的运动或涉及力的推和拉更形象.

无论何种原因, 当涉及多元函数的时候, 通常把输出考虑成一个向量, 输入考虑成一个点. 这倒并不是一个规则, 或许恰巧就是这样的结果.

术语

如果一个函数的输出是向量, 我们称之为 向量值函数, 而输出是一个单个数字的函数, 它或者被称为 标量值 函数, 在工程实践中比较常见, 或者被称为实值函数, 这通常在理论数学中比较常见 (实是实数的意思).

多元函数示例

当我们用模型来表示实际世界的情况时, 我们会越来越感觉一元微积分是多么受限. 下面是多元函数应用的几个例子.

例 1: 位置和温度

要用模型表示一个较大范围内各地的不同温度, 可以用一个二元函数—经度和纬度, 或者还需要海拔高度作为第三个变量—输出的是一个变量, 即气温. 如下所示:

T = f (L_{1}, L_{2})

$T$ ‍ 代表气温.
$L_{1}$ ‍ 代表经度.
$L_{2}$ ‍ 代表纬度.
$f$ ‍ 是某个复杂的函数, 用来表示任一地方(用经度-纬度表示)对应的气温.

或者, 你可以说

T

是经度

L_{1}

和纬度

L_{2}

的函数, 写成

T (L_{1}, L_{2})

例 2: 时间和位置

用模型表示某个粒子随时间推移在空间中的运行轨迹, 你可以用一元函数表示, 它的输入是单个数字：时间；输出则是该粒子的坐标，也许是两个或三个数, 根据你建模时采用的维度.

有好几种不同的方法来描述这个函数:

\vec{s} = f (t)

$\vec{s}$ ‍ 是一个二或三维的 "位移向量", 表示粒子的位置.
$t$ ‍ 代表时间.
$f$ ‍ 是向量值函数.

或者, 你也可以将向量值函数分解成单独的标量值函数

x (t)

和

y (t)

, 他们表示作为时间的函数的 x 和 y 坐标:

\begin{aligned} x (t) & = \dots (t 的某个表达式) \dots \\ y (t) & = \dots (t 的另一个表达式) \dots \end{aligned}

例 3: 用户数据和预测

当网站试图预测某用户的行为时, 它可能会创造一个包含上千个变量的函数, 包括该用户的年龄, 地理位置坐标, 点击某种类型链接的次数, 等等. 输出也可能包含多个变量, 例如他们点击某个链接的可能性或购买某个商品的可能性.

例 4: 位置和速度向量

如果你要用模型表示某液体的流动情况, 一种方法是将液体中每个粒子的速度表示出来. 要做到这一点, 想像某个函数的输入是某粒子的坐标, 输出是该粒子的速度向量.

同样, 有几种不同的方法用来描述这个函数:

\vec{v} = f (x, y)

$\vec{v}$ ‍ 是一个二维的速度向量.
$x$ ‍ 和 $y$ ‍ 是位置坐标.
$f$ ‍ 是一个多元的向量值函数.

或者, 你可以把这个向量值函数

f

分解成不同的部分, 使用

\hat{i}

\hat{j}

的表示法:

\vec{v} = g (x, y) \hat{i} + h (x, y) \hat{j}

$\vec{v}$ ‍ 是一个二维速度向量.
$\hat{i}$ ‍ 是 $x$ ‍-方向的单位向量.
$\hat{j}$ ‍ 是 $y$ ‍-方向的单位向量.
$g$ ‍ 是一个标量值函数, 表示每个向量(位置的函数)的 $x$ ‍ 部分.
$h$ ‍ 是一个标量值函数, 表示每个向量(位置的函数)的 $y$ ‍ 部分.

微积分适用的地方

微积分有两个基本主题:

导数, 它研究当输入变化时一个函数的 变化率 .
积分, 它研究怎样把组成某函数输出值的 无穷多无穷小的数量相加 .

多元微积分将这些概念延伸到那些拥有多维输入和/或输出的函数.

关于上述例子, 变化率可涉及如下方面:

当你沿某方向移动时温度如何改变.
当网站的某些方面做出改变后, 某消费者在线购物行为的变化.
流速在空间里的波动.

另一方面, "无穷多无穷小量相加" 可能意味着：

求平均气温.
计算当某粒子移动时外力对其所做的所有的功.
描述某流体在一整块区域内的净流速.

这些例子与一元微积分最根本的不同的是我们需要描述不同方向的变化, 以及那些变化彼此之间如何相关. 在随后的讨论中你会明白我的意思.

概念检查: 在上述示例 2 中, 某粒子的位置被描述成时间的函数, 你能举出变化率的例子吗?

想加入讨论吗？

排序方式:

尚无帖子。

你会英语吗？单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.

多变量微积分

课程: 多变量微积分 > 单元 1

我们要做什么

什么是多元函数?

多个数字 ↔‍ 空间中的点

向量值函数

术语

多元函数示例

例 1: 位置和温度

例 2: 时间和位置

例 3: 用户数据和预测

例 4: 位置和速度向量

微积分适用的地方

想加入讨论吗？

多个数字 $\leftrightarrow$ ‍ 空间中的点